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lunes, 21 de julio de 2014

El hotel de Hilbert

¿Estas cansado de escuchar que el hotel que buscas para las vacaciones tiene overbooking? ¿No encuentras hotel en la fecha en la que estamos?
¡No te preocupes y ven al Hotel de Hilbert! El lugar donde siempre hay alojamiento para uno más. Y quien dice uno, dice todos los que hagan falta.

Imágen sacada de: tras la cola de la rata

El Hotel de Hilbert piensa en ti, por ello cuenta con infinitas habitaciones para que tú, tu familia y/o tus amigos podáis tener unas vacaciones a la altura.


¿Cómo puede ser que después de llenarse el hotel pueda el recepcionista alojar a más personas?
La respuesta es sencilla, basta conocer un poco de matemáticas y el comportamiento del infinito.

Ahora veremos como resuelve el recepcionista del Hotel de Hilbert el problema del alojamiento.

En primer lugar tenemos que decir que todo cliente cuando reserva su habitación en este hotel adquiere el compromiso de tener que cambiarse de habitación cuando el recepcionista lo crea conveniente. Como dato informativo, las habitaciones están ordenadas de forma creciente empezando por la habitación número 1.

Te informamos de antemano que el hotel ya está completo pero tiene un recepcionista muy eficiente, y garantiza alojamiento para cuantas personas lleguen. Dependiendo de cuantas personas te acompañen el recepcionista deberá realizar algunos cambios en la distribución de las habitaciones. Por ello, consideraremos varios casos:
  • Si quieres descansar sólo o vienes acompañado de algunos amigos solo tienes que decirle al recepcionista cuantas habitaciones necesitas. Supongamos que necesitas 3 habitaciones. El recepcionista para encontraros una habitación disponible le dirá a sus clientes que miren el número de habitación que tienen y le sumen 3, obteniendo así el número de habitación al que se tendrán que desplazar.                                                   
                                                 Habitaciones              Habitaciones 
                                                 antiguas de                nuevas de
                                                 los clientes                 los clientes
          Así, el recepcionista habría dejado libre las 3 primeras habitaciones para que tú y tus amigos os podáis alojar.     
          Nota: No hay últimas habitaciones. Por eso podemos siempre desplazar a los clientes a dichas habitaciones.
  • Si eres organizador de excursiones y vienes con un grupo infinito. El recepcionista les dirá a sus clientes que multipliquen por 2 el número de su habitación y se desplacen a ella, ocupando así las habitaciones pares y dejando libres las impares para el nuevo grupo de turistas.
                                                 Habitaciones              Habitaciones 
                                                 antiguas de                nuevas de
                                                 los clientes                 los clientes
  • Si eres organizador de excursiones y has organizado infinitas excursiones con infinitos turistas cada una, ¡también se os puede hacer un hueco en este hotel! Para ello el recepcionista debe comunicarle a sus clientes que si su número de habitación es un número primo o alguna potencia de un número primo entonces deben elevar 2 al número de habitación y cambiarse a esa habitación. Los otros clientes deberán permanecer en sus habitaciones.
                                                 Habitaciones              Habitaciones 
                                                 antiguas de                nuevas de
                                                 los clientes                 los clientes

Por otro lado el recepcionista asignará un número primo $p$ distinto de 2 a cada excursión y un número impar $t$ a cada turista. Posteriormente cada turista deberá elevar al número de su excursión el número que le han asociado en dicha excursión, así un turista $t$ en una excursión $p$ le corresponderá la habitación $p^t$.                                   

Como el conjunto de los números impares y el de los números primos distintos de 2 son infinitos entonces se puede alojar infinitos grupos de infinitos huéspedes dentro de un hotel con únicamente infinitas habitaciones.

Observación: Hemos dejado habitaciones libres por si nos llegara otras infinitas excursiones con infinitos turistas cada una. Las habitaciones son aquellas cuyo número es $p^{2n}$ donde $p$ es un número primo distinto de 2 y $n$ un número natural. Así, bastaría asociar un número $p$ distinto de 2 a cada excursión y un número par $2n$ a cada turista.  
Nota: Un número primo es un número entero $p>1$ que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.
¿Te atreves a vivir esta experiencia?
PD: Aunque no exista un Hotel en la Tierra tan acogedor como éste, eso no te impide viajar a él con tu imaginación.

Se puede consultar wikipedia para ver esta paradoja http://es.wikipedia.org/wiki/El_hotel_infinito_de_Hilbert
Además, podemos ver el siguiente vídeo del Hotel de Hilbert donde se explica esto con dibujos.

Para saber más, aquí tienes otras paradojas:

  1. ¿Eres capaz de alcanzar a una tortuga que parte con ventaja? La paradoja de Zenón.
  2. La paradoja del mentiroso, frases autorreferentes y otras paradojas.
  3. El dilema del cocodrilo. Paradojas.

                                                          @antonio_arjona7

2 comentarios:

  1. Bonita manera de presentar la idea. Gracias.

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    Respuestas
    1. Después de las 2 primeras entradas me di cuenta que la forma de que la gente te escuchara o por lo menos se parara a leer algo es que tuviera un título o un comienzo que fuera impactante y esa fue mi intención. Me alegra que te haya gustado.

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