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lunes, 15 de septiembre de 2014

Demostración de que Raíz de 2 es irracional

¿Qué significa que un números es irracional? Un número irracional es un número que no es racional, es decir, no se puede representar como fracción $\frac{p}{q}$ siendo $p,\,q$ números enteros y $q$ no nulo.

Para probar este resultado razonaremos por reducción al absurdo, pero ¿en que consiste este método? Este método consiste en partir de la hipótesis contraria y llegar a una contradicción que nos dirá que lo que hemos supuesto es falso. 

En este caso, lo contrario es que $\sqrt{2}$ es un número racional porque si un número no es irracional entonces debe ser racional, es decir, es de la forma $$ \sqrt{2}= \dfrac{p}{q}$$ donde $p, \, q \in \mathbb{Z}$  y  $q\neq 0$.

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\frac{p}{q}$ es una fracción irreducible, o lo que es lo mismo, que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es $1$. Si no fuera irreducible es porque es una fracción reducible y entonces podemos dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números, creando así una fracción equivalente

Si $d=m.c.d(p,\,q)$ entonces $\exists \,p',\,q'\in\mathbb{Z}$ tal que $p=d\cdot p';\,\,\,\,\,q=d\cdot q'$, y así $$  \dfrac{p}{q}=\dfrac{d\cdot p'}{d \cdot q'} = \dfrac{p'}{q'}$$
Supongamos que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, elevando al cuadrado y operando tenemos: $$ 2=\dfrac{p^2}{q^2}\rightarrow 2\cdot q^2 = p^2   $$
Luego $p^2$ es par lo cual implica que $p$ es también par. Como $p$ es par entonces es de la forma $p= 2\cdot k$ para un cierto $k\in\mathbb{Z}$. Sustituyendo el valor de $p$ y operando obtenemos: $$ 2\cdot q^2 = p^2 \rightarrow 2 \cdot q^2 = 4 \cdot k^2 \rightarrow q^2 = 2 \cdot k^2$$ 
Luego $q^2$ es par y esto implica que $q$ es par. Como consecuencia hemos llegado a que $p$ y $q$ son pares lo cual es absurdo porque esto quiere decir que el máximo común divisor de $p$ y $q$ es al menos $2$ y esto contradice a nuestra hipótesis $(m.c.d(p,\,q)=1)$. 

Conclusión: 2 es un número irracional.

Nota: Si quieres conocer los tipos de números que existen pincha aquí.


@antonio_arjona7

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