Los pitagóricos y los números poligonales

Los pitagóricos fueron un grupo de religiosos, científicos y filósofos cuyo líder era Pitágoras de Samos. Era una secta griega formada por astrónomos, matemáticos, filósofos, etc que apareció en el siglo V a. C. Los pitagóricos representaban los números mediante puntos y los clasificaban según las formas de las distribuciones de los puntos.

Los números $1,\,\,3,\,\,6,\,\,10,\,\,15,\,\,21,\,\,28,\,\, ...$ reciben el nombre de números triangulares porque al representar estos números con puntos pueden distribuirse en forma de un triángulo equilátero.

 Figura 1: Los números triangulares

Como podemos observar los números triangulares se obtienen al sumar $n$ términos consecutivos empezando a partir del 1, por ejemplo:

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

...

Por inducción se prueba que $$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2} \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$$

Por tanto los números triangulares son de la forma   $\dfrac{n \cdot (n+1)}{2}\quad \forall \,n\in \mathbb{N}$.

Para los pitagóricos el cuarto número triangular ((el\,\, 10)) era un número sagrado, la Década, la totalidad del universo, ya que es la suma de la Unidad, la Díada, la Tríada y el Cuaternario ((tierra,\,\,aire,\,\,fuego\,\,y \,\,agua)), y además, cada lado posee cuatro puntos. La tetractys era el símbolo sagrado de los pitagóricos. Cada fila representa las dimensiones de la experiencia.

                            
1. Punto.       .
2. Recta.      ..
3. Plano.     ...
4. Sólido.  ....

                                          Figura 2: Tetractys

Puedes leer sobre la Santa Tetractys Pitagórica aquí.

Los números $1,\,\,4,\,\,9,\,\,16,\,\,25,\,\,36,\,\,49,\,\,...$ se llaman números cuadrados porque sus puntos se pueden distribuir para crear un cuadrado, como se puede observar en la figura 3.

 Figura 3: Números cuadrados

Se puede observar que los números cuadrados se pueden escribir como suma de números impares empezando por el 1. Por ejemplo:

1 = 1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

...

Por inducción se prueba que $$ n^2 = 1 + 3 + \dots + (2n -1)  \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$$ Los pitagóricos sabían de esto ya que lo tenían en cuenta a la hora de su representación. Este hecho se puede ver en la figura 4.

Figura 4: Representación de los números cuadrados en la forma pitagórica

Los puntos de la fila superior y columna derecha los llamaban gnomon. Luego el primer gnomon es el 1, el segundo el 3, el tercer gnomon 5, etc. Gnomon significa lo que queda de un paralelogramo al cortar otro más pequeño de una de sus esquinas.

Se puede ver además que un número cuadrado se puede descomponer como suma de 2 números triangulares consecutivos. Para ver esto hacemos 2 trucos:

1. Multiplicar y dividir $n^2$ por $2$.
2. Sumar y restar $n$ en el numerador. 

Por último sacamos $n$ factor común y descomponemos la fracción en suma de otras 2 fracciones. Así, llegamos a que $$  n^2 = \dfrac{(n-1)\cdot n}{2}+\dfrac{n\cdot (n+1)}{2}  \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$$

Los números $1,\,\,5,\,\,12,\,\,22,\,\,35,\,\,51,\,\,70,\,\,...$ se llaman números pentagonales porque sus puntos se pueden distribuir formando un pentágono.

Figura 5: Números pentagonales

1 = 1

5 = 1 + 4

12 = 1 + 4 + 7

22 = 1 + 4 + 7 + 10

35 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13

...

Por inducción se prueba que todo número pentagonal es de la forma $$1 + 4 + \dots + 3n - 2 =  \dfrac{3n^2 - n}{2} \quad \forall\,\,n\in\mathbb{N}  $$

Así podríamos seguir indefinidamente, números hexagonales, números heptagonales, etc. En general un número poligonal es un número natural que puede distribuirse formando un polígono regular. Hemos visto los primeros casos y en cada caso hemos visto como se crean a partir un término general.  

Números triangulares     $\dfrac{n\cdot (n+1)}{2}\quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$

Números cuadrados        $\dfrac{n\cdot (2n)}{2}=n^2 \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$

Números pentagonales   $\dfrac{n\cdot (3n-1)}{2} \quad \forall \,\,n\in \mathbb{N}$

Por inducción todo número m-agonal viene determinado por la siguiente fórmula  $$ 1+(m-1) + \dots + (m-2)\cdot n - (m-1) =  \dfrac{n\cdot ((m-2)\cdot n - (m-4))}{2} $$ para todo $m\geq 3 $ y para todo $n\in \mathbb{N}$. Para representarlos tomamos $m-1$ rectas, creamos polígonos de $m$ lados, y nos fijamos en el caso de los números pentagonales para ver como se hace el método ya que el caso general es análogo.

Si os ha gustado este tema os recomiendo que leáis sobre las ternas pitagóricas, es decir, tripletas de números que cumplen el Teorema de Pitágoras, como por ejemplo $\{3,\,4,\,5\}$ que cumplen que $3^2 + 4^2 = 5^2$.

@antonio_arjona7