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domingo, 31 de agosto de 2014

Las matrículas perfectas

3 hermanos Juan, Manuel y Antonio tienen cada uno un coche. Estos hermanos son muy especiales y les gustan las matrículas perfectas y por ello los números de las matrículas de cada uno son cuadrados perfectos.

De la matrícula de Juan sabemos que es un número impar y que si descomponemos el número en 2 de forma que el 1º esté formado por las 2 primeras cifras de la matrícula y el 2º lo esté por las 2 últimas cifras, ambos números son también cuadrados perfectos.



De la matrícula de Manuel sabemos que si descomponemos el número en 2 de la forma mencionada anteriormente, el segundo número es el doble del primero más 1. Además el segundo número es un cuadrado perfecto.

De la matrícula de Antonio sabemos que si la descomponemos en 2 números como hemos dicho antes, cada uno de los 2 es un número primo. Además la suma de las cifras de la matrícula es la misma que la suma de las cifras de la matrícula de Juan.

Nota: Un número primo es un número distinto de 1 que sólo es divisible por sí mismo y por 1.

¿Sabrías decir cuáles son las matrículas de cada uno de estos hermanos?


viernes, 29 de agosto de 2014

3 interruptores y 1 bombilla

Imaginemos que entramos en una casa y queremos entrar en una habitación cuya puerta está cerrada. Si al lado de la puerta hay 3 interruptores. 



¿Podemos saber cuál es el interruptor que enciende la bombilla que se encuentra en dicha habitación pudiendo entrar una única vez en ella? Explica tu respuesta.

Continúa las sucesiones 2

Acertijo 1:


Acertijo 2:


Acertijo 3:


Nota: El primero es bastante sencillo, el tercero es un poco más difícil y el segundo es más complicado que los anteriores.

Espero que haya suerte y encontréis la clave de dichas series.

Otro acertijo similar lo puedes encontrar aquí

Continúa las sucesiones 1

Acertijo 1:


Nota: Debemos hallar primero la relación que existe entre la primera fila y la segunda para poder calcular el valor del número que falta.


Acertijo 2:


Acertijo 3:



Otro acertijo similar lo puedes encontrar aquí.



lunes, 25 de agosto de 2014

El 12345679 y la escalera numérica

En este post veremos 2 curiosidades numéricas. La primera consistirá en elevar al cuadrado números cuyas cifras son únicamente unos. En la segunda veremos una propiedad curiosa sobre el número 12345679 al multiplicarlo por múltiplos de 9.

La escalera numérica

Cuando multiplicamos un número cuyas cifras son únicamente 1's por sí mismo obtenemos un número cuyas cifras son números consecutivos, en primer lugar en orden ascendente y posteriormente en orden descendiente. Veremos unos ejemplos para que quede más claro.

1 * 1 = 1
11 * 11 = 121
111 * 111 = 12321
1111 * 1111 = 1234321
11111 * 11111 = 123454321
111111 * 111111 = 12345654321
1111111 * 1111111 = 1234567654321
11111111 * 11111111 = 123456787654321
111111111 * 111111111 = 12345678987654321
      
Luego el cuadrado de un número formado por $n$ unos ((1...1)) tiene como cifras los números del $1...n$ en orden creciente y seguidamente desde $n-1...1$ de forma decreciente ((con\,\, salto \,\,1)), siendo $n\in \{1,...,9\}$.

1...1 * 1...1 = 12...n...21

La curiosidad del número 12345679

Cuando multiplicamos el número 12345679 por un múltiplo de 9 ((9*n)), siendo $n\in\{1,...,9\}$ obtenemos un número cuyas cifras son todas iguales. Veámoslo con ejemplos:

  12345679 * 9 = 111111111
12345679 * 18 = 222222222
12345679 * 27 = 333333333
12345679 * 36 = 444444444
12345679 * 45 = 555555555
12345679 * 54 = 666666666
12345679 * 63 = 777777777
12345679 * 72 = 888888888
12345679 * 81 = 999999999

Nota: Se observa que el 8 no se encuentra en el número 12345679.

En realidad solo bastaba ver que 12345679 * 9 es igual a 111111111. Ya que 18 = 9 * 2; 27 = 9 * 3;  36 = 9 * 4; 45 = 9 * 5; ... y por tanto la multiplicación consiste en escribir 9 veces el número que multiplica al 9.



@antonio_arjona7


domingo, 24 de agosto de 2014

Elevar al cuadrado números terminados en 5

En esta entrada os voy a enseñar otra forma de elevar al cuadrado números terminados en 5. Este método sirve para ahorrarnos cálculos y si son números de 2 o 3 incluso poder calcular algunos mentalmente aunque a priori parezca impensable.

Todo número terminado en 5 se puede escribir como $a5$ ya que $a5= a \cdot 10 +5$, es decir, $a$ es el número formado por todas las cifras salvo la última. Por ejemplo si $a=10$ el número sería $$a5=105$$
Daremos ahora paso a la descripción del método.

Para elevar al cuadrado un número terminado en 5, es decir, de la forma $a5$ escribimos el resultado de multiplicar $a\cdot(a+1)$ y a esas cifras le añadimos por la derecha $25$ que es el resultado de multiplicar $5\cdot 5$. Por tanto el resultado será $$a\cdot (a+1) \cdot 100 + 25$$
Lo veremos ahora con ejemplos para que quede más claro.


Valor                  Número que                    (a) * ((a+1))                      Resultado al elevar al
de a                  queremos elevar                                                         cuadrado el número

(a) = 0                          05                            0 * 1 =     0                         05$^2$ =     025            
(a) = 1                          15                            1 * 2 =     2                         15$^2$ =     225
(a) = 2                          25                            2 * 3 =     6                         25$^2$ =     625
(a) = 3                          35                            3 * 4 =   12                         35$^2$ =   1225
(a) = 4                          45                            4 * 5 =   20                         45$^2$ =   2025
(a) = 5                          55                            5 * 6 =   30                         55$^2$ =   3025
(a) = 6                          65                            6 * 7 =   42                         65$^2$ =   4225
(a) = 7                          75                            7 * 8 =   56                         75$^2$ =   5625
(a) = 8                          85                            8 * 9 =   72                         85$^2$ =   7225
(a) = 9                          95                          9 * 10 =   90                         95$^2$ =   9025
(a) = 10                      105                        10 * 11110                       105$^2$ = 11025


@antonio_arjona7

Apuestas

Me juego 1000€ a que si me das 2000€ yo te devolveré 3000€. ¿Aceptarías la apuesta?

                           
                                                          imagen cogida del blog cuentica


@antonio_arjona7

viernes, 22 de agosto de 2014

Acertijos de cazadores

3 cazadores se encontraban caminando por el borde de un estanque cuando de repente se encontraron con un jugoso botín, 3 palomas estaban volando frente a ellos. Como eran buenos cazadores cada uno mató a la suya y 2 siguieron volando. ¿Cómo es posible esto?

Aquí os dejo otro acertijo un poco más sencillo.

Un cazador se encontraba caminando por el borde de un estanque cuando de repente se encontró con 7 palomas que estaban posadas en un árbol. El cazador mató a 2 palomas. ¿Cuántas palomas quedaron en el árbol?



@antonio_arjona7

jueves, 21 de agosto de 2014

Las edades de las hijas de Miguel

2 amigos Juan y Miguel se encuentran por la calle después de unos años sin verse.

-Juan  --  ¿Cuántos hijos tienes? 
-Miguel --  Pues tengo 3 hijas.
-Juan --  ¿Qué edades tienen? 
-Miguel --  El producto de sus edades es 36 y la suma es el número de la casa de enfrente. 
-Juan --  Miguel ¿no se te ha olvidado algo?
-Miguel --  Pues seguramente, es que voy con prisa porque mi hija mayor está de compras con su madre y se han llevado mi tarjeta de crédito. 


¿Sabrías decir cual es la edad de cada una de las hijas de Miguel?


@antonio_arjona7

martes, 19 de agosto de 2014

Resolver dudas de matemáticas

¿Tienes dudas sobre algún método matemático? ¿Tienes deberes para casa pero estás atrancado con alguno y no ves la luz al final del túnel? ¿Tienes algún examen de mates a la vista y necesitas ayuda urgentemente?


¡¡No te preocupes!! En este post te daré información para que esas dudas desaparezcan por completo.

Ahora citaré algunos lugares donde puedes preguntar todas estas inquietudes matemáticas.
  1. Puedes escribir un comentario en esta entrada con tu duda. Intentaré responderte con la mayor brevedad.
  2. Puedes crear tema nuevo en nuestro foro y añadir un comentario para hacer las preguntas matemáticas que necesites. 
  3. Puedes dejar un comentario en nuestra comunidad de Google+ Las matemáticas a tu alcance en la sección de Dudas matemáticas y te intentaremos ayudar.
  4. En facebook existe un grupo de matemáticas en el cual participo de vez en cuando que está dedicado a la ayuda de problemas matemáticos dando indicaciones de como se resuelven los ejercicios. Como inconveniente se tiene que cualquier usuario del grupo puede comentar, aunque si alguien se equivoca otra persona suele decir que no es la solución correcta y proporciona la verdadera.
  5. En yahoo respuestas de matemáticas puedes encontrar alguna pregunta parecida a la tuya o simplemente puedes hacerla tu mismo. Para esto debes de hacerte un correo yahoo e inscribirte como usuario. Si solo quieres resolver algunas dudas concretas no es necesario hacerte una cuenta en yahoo, por lo tanto puedes hacer uso de las otras opciones. Si en cambio tienes muchas dudas te lo recomiendo, ya que en esta página te suelen resolver las dudas en poco tiempo y posee una gran cantidad de preguntas ya resueltas, doy fe de ello. Otro inconveniente que posee es que allí puede responder cualquier persona que tenga la cuenta, así que debes ser cauto y no creerte todo lo que te digan. Muchas veces las respuestas son correctas pero eso no quita que la responda otra persona que crea que sabe la respuesta y en realidad no la sepa.
Puedes buscar por tu nivel de curso en Vitutor. En esta página puedes encontrar contenido y ejercicios resueltos sobre los temas que más problemas tienes. Está muy bien si estás en Secundaria o Bachillerato, es muy educativa.

Estas son las formas que yo conozco, además son bastante buenas. Estoy a vuestra disposición para lo que os pueda ayudar. Dejad un comentario aquí y os responderé en cuanto me sea posible. Espero que os sirva de ayuda y aprendáis matemáticas que es de lo que se trata. Si conoces a otras personas que les pueda servir de ayuda esta entrada, compartirla con ellos. Lo importante es que la información llegue a quien la necesite.
@antonio_arjona7

lunes, 18 de agosto de 2014

Frases Célebres

  • --> La mente es como un paracaídas, solo funciona si se abre. -- Albert Einstein
  • --> Si buscas resultados distintos no hagas siempre lo mismo. -- Albert Einstein 
  • --> Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas. -- Jaume Perich 
  • --> Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella -- Carl Friedrich Gauss
  • -->La auténtica travesía del descubrimiento no consiste en explorar nuevos paisajes, sino en verlos con ojos nuevos. -- Marcel Proust
  • --> Un matemático es alguien que puede tomar una taza de café y convertirla en una teoría. -- Paul Erdös
  • --> Si deseamos comprender la naturaleza del universo, poseemos una ventaja oculta: nosotros mismos somos pequeñas porciones del propio universo, de modo que llevamos dentro de nosotros la respuesta. -- Jacques Boivin, The Heart Single Field Theory
  • --> No es posible que existan números carentes de interés, pues de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés. -- Martin Gardner
  • --> La diversión es una de las fuerzas motivadoras más intensas de la humanidad. Aunque muchos matemáticos restan importancia al trabajo de un colega tachándolo de "matemáticas recreativas", una parte considerable de las matemáticas ha surgido de problemas recreativos, que ponen a prueba la lógica y revelan profundas verdades matemáticas. -- Ivars Peterson, Islands of Truth
  • --> La matemáticas, consideradas correctamente, poseen no solamente verdad, sino una suprema belleza--una belleza fría y austera, como la de una escultura. -- Bertrand Russell, Misticismo y lógica
  • --> La imaginación es más importante que el conocimiento -- Albert Einstein
  • --> La imagen popular de las matemáticas como la de una colección de datos exactos, relacionados entre sí mediante argumentos lógicos, ha resultado ser falsa. En las matemáticas existe el azar, y como consecuencia la incertidumbre, al igual que ocurre en la física. -- Paul Davis, The Mind of God
  • --> Dios nos ha dado la oscuridad para que podamos ver las estrellas. -- Johnny Cash, Farmer's Almanac
  • --> Vivimos en una isla de conocimiento rodeada de un mar de ignorancia. A medida que nuestra isla crece, así lo hace la orilla de nuestra ignorancia. -- John A. Wheeler, Scientific American, vol. 267
  • --> Preserva tu derecho a pensar, puesto que incluso pensar erróneamente es mejor que no hacerlo en absoluto. -- Hipatia
  • --> Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico. -- Leonhard Euler

@antonio_arjona7

sábado, 16 de agosto de 2014

El dilema del cocodrilo. Paradojas

Si estás interesado en este problema puedes ver el vídeo que aparece al final de esta entrada. También he dejado aquí el texto que se explica en el vídeo.

El dilema del cocodrilo trata sobre un niño que estaba jugando en la orilla del río Nilo y fue capturado por un cocodrilo. La madre al ver lo sucedido le pidió al cocodrilo que le devolviera a su niño. El cocodrilo, aunque tenía mucha hambre, le quiso dar una oportunidad a la madre, que ya lloraba desconsolada como si supiera el fin que iba a tener su hijo, y le dijo que si adivinaba lo que iba a hacer con su hijo se lo devolvería sano y salvo, pero si no, se lo comería de un bocado.

Pregunta: Si fueras tú la madre ¿Qué dirías? 

Antes de ver lo que sucedió puedes intentar pensar cómo resolver dicho problema. Piensa que está en juego la vida de tu hijo. 

Continuación:
¡¡Te vas a comer a mi hijo!! Dijo la madre con un tono de desesperación ante lo ocurrido.

El cocodrilo se encontraba feliz ya que con esa afirmación tenía que comerse al niño, porque si le devolviera el niño a su madre, ella se habría equivocado al afirmar que el cocodrilo se iba a comer a su hijo.

¡¡Para el carro!! — Respondió la madre — Si te comes a mi hijo entonces habré acertado y me dijiste que si acertaba me lo devolverías sin ningún rasguño. ¡Tienes que cumplir tu palabra y devolvérmelo!

El cocodrilo, atónito no sabía que hacer: por un lado tenía que comerse al niño y por el otro tenía que dejarlo marchar.

Así que el cocodrilo se metió en un bucle infinito, y cansado de tanto pensar, dejó escapar al niño. La madre inmediatamente lo agarró del brazo y huyó sin mirar atrás.

El cocodrilo se quedó lamentándose ya que si la madre le hubiera dicho que le devolviera a su niño podría haber hecho lo que quisiera, es decir, o soltarlo o comérselo y está claro cuál es la opción que hubiera elegido ¿No?


El dilema del cocodrilo

@antonio_arjona7

martes, 12 de agosto de 2014

Paradoja del mentiroso, frases autorreferentes y otras paradojas

Una paradoja es una idea extraña o irracional que se opone al sentido común y a la opinión general. Podemos distinguir 4 tipos:

  1. Afirmaciones que parecen falsas pero que en realidad son verdaderas.
  2. Afirmaciones que parecen verdaderas pero que en realidad son falsas.
  3. Conjunto de razonamientos que aparentemente son verdaderos aunque conducen a contradicciones lógicas (falacias).
  4. Afirmaciones que no podemos decidir si son verdad o son falsas.
La paradoja del mentiroso

Existen muchas versiones de dicha paradoja pero aquí solo daremos su versión más sencilla.

Esta frase es falsa.

¿Es verdadera o falsa dicha oración? Supongamos que es verdadera, entonces la oración debe ser falsa, tal y como afirma la oración y por tanto llegamos a una contradicción. Como la oración no es verdadera ¿entonces es falsa? Suponiendo que la oración es falsa tenemos que lo que afirma es falso y por tanto esta frase es verdadera, con lo cual llegamos a otra contradicción. Así la frase no puede ser ni verdadera ni falsa, con lo cual no se puede asignar un valor de verdad a la oración sin que se llegue a contradecir.   

Frases autorreferentes

Esta frase tiene treinta y cinco letras.

Si esta oración fuera verdadera debería de tener 35 letras pero como solo tiene 33 hemos llegado a una contradicción. Como la oración no es verdadera, ¿entonces es falsa? Si es falsa entonces esta frase no tiene treinta y cinco letras pero en realidad la frase si consta de 35 letras, luego es verdadera y por tanto tenemos una contradicción.

Así que la frase no es ni verdadera ni falsa.

¿En las tiendas se fia?

Hoy no se fia, mañana sí.

Si vamos a una tienda y leemos el cartel Hoy no se fia, mañana sí, revisa tus bolsillos porque no te vas a poder ir sin pagar. ¿Pero al día siguiente se fia? Cuando vas al día siguiente creyendo que si se fia, te das cuenta que el letrero vuelve a poner  "hoy no se fia, mañana sí", luego en realidad no te fian ni el primer día ni el segundo ni nunca. Entonces aunque la frase parece verdadera en realidad es falsa.



La paradoja del mentiroso con 2 amigos

Juan: Lo siguiente que diga Pedro será falso.
Pedro: Juan ha dicho la verdad.

Supongamos que Juan dice la verdad, entonces lo que diga Pedro será falso. Como Pedro miente entonces Juan no ha dicho la verdad, es decir, Juan miente, lo cual contradice a la hipótesis de partida. Como Juan no dice la verdad ¿entonces miente? Si Juan miente entonces lo que diga Pedro será verdadero. Como Pedro dice la verdad entonces Juan ha dicho la verdad y por tanto llegamos a una contradicción ya que hemos supuesto que Juan miente.  

Como conclusión la frase no es ni verdadera ni falsa.


Si os ha gustado estas paradojas os recomiendo estas otras:

                                                                                                                   @antonio_arjona7

viernes, 8 de agosto de 2014

Fórmula de Euler para poliedros

Leonhard Euler, el cual aparece en la foto de la derecha, fue un matemático y físico suizo del siglo XVIII. Es el matemático más famoso del siglo XVIII y unos de los matemáticos más importantes de toda la historia. Es conocido por sus trabajos en el análisis matemático y la teoría de grafos. A causa de su dedicación extrema en su trabajo perdió la visión del ojo derecho, aunque esto no le afectó a la calidad ni a la cantidad de publicaciones. 
        
Antes de nada es necesario conocer que un poliedro es un cuerpo geométrico de 3 dimensiones cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. Los segmentos que unen dichas caras se denominan aristas y los puntos donde se cortan las aristas se denominan vértices.

Los poliedros que nos interesarán serán los poliedros convexos, que son poliedros en los que para cualquier par de puntos dentro, el segmento que los une también lo está. Por ejemplo, una caja de pastillas.



Un poliedro regular es un poliedro convexo en el que sus caras son polígonos que tienen todos sus ángulos y lados iguales, y en cada vértice coinciden el mismo número de caras. Por otro lado un poliedro irregular es que no es regular. En la siguiente imagen mostraremos los 5 únicos poliedros regulares. 









Como ejemplos de poliedros irregulares podemos mencionar los prismas excepto el cubo, las pirámides, etc.



Sea $V = número\,\, de\,\, vértices$, $A= número\,\, de \,\,aristas$ y $C=número \,\, de \,\,caras$.


Fórmula de Euler para poliedros.
En un poliedro convexo se cumple:
V + C = A + 2

En la siguiente figura comprobamos la Fórmula de Euler para los poliedros regulares.


Cuando realizamos cortes a cualquier poliedro regular obtendremos un poliedro irregular que también es convexo y por tanto se mantiene la fórmula de Euler. Para los poliedros irregulares como prismas, pirámides y otros también se cumple dicha fórmula. Tomando por ejemplo una pirámide cuya base es un cuadrado, se tiene que el número de vértices es V=5, el de aristas es A=8 y el de caras es C=5. Por lo tanto 
5 + 5 = 8 + 2 

Nota: Para la construcción de los poliedros regulares se ha usado el juego Geomag, que tiene bolas y palitos con imanes. Así es mucho más fácil hacerlo. 

¿Qué ocurre si no tenemos ningún juego parecido?
Lo que ocurre es que no tenemos excusa para dejar de hacer estas preciosas construcciones. Os daré alguna idea. Podéis usar palillos de dientes y aceitunas o algunas gominolas con forma redonda.

Como recompensa os la podéis comer. Bueno los palillos de dientes no, pero seguro que se os ocurre alguna forma de sustituirlos. OJO, antes de coméroslas podéis hacerle alguna foto para compartirla con los demás. Además, si queréis me las podéis mandar a mi correo matesrye@gmail.com para que las introduzca en el artículo y así quién las vea posteriormente le entrará un poco más el gusanillo.

@antonio_arjona7

lunes, 4 de agosto de 2014

Principio del palomar

El Principio del palomar o principio de las cajas se le atribuye al matemático alemán Johan Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

Principio del palomar
Si se reparten $n$ palomas en $m$ palomares y $n>m$, entonces algún palomar tendrá más de una paloma.

Si tenemos $m$ palomares, en cada palomar podemos albergar una paloma. Como el número de palomas es $n>m$ entonces como mínimo tenemos $m+1$ palomas. Las $m $ primeras las hemos colocado cada una en un palomar distinto, por lo que nos sobraría una paloma que tendremos que alojarla en uno de los $m $ palomares. Como consecuencia algún palomar tendrá más de una paloma. 

Para el caso en que tengamos $m=5$ palomares y $n=6$ palomas.

  
Las primeras 5 palomas entran cada una es un palomar y la sexta la tendríamos que colocar en uno de los 5 palomares, así habría un palomar con 2 palomas. Si el palomar en el que metemos las 2 palomas es el último la distribución quedaría así.


Principio del palomar generalizado
Sean $m,\,n,\,p$ números naturales tales que $n>m$. Si queremos colocar $n\cdot p + m $ palomas en $n$ cajas entonces alguna de las cajas debe contener al menos $p+1$ palomas.

Este resultado es muy parecido al anterior. Si colocamos $p$ palomas en cada caja, en total hemos colocado $n\cdot p$ palomas. Como $n\cdot p < n \cdot p + 1 \leq n \cdot p + m$ tenemos que todavía nos sobra alguna paloma por colocar. Como cada caja tiene $p$ palomas, la caja en la que metamos la siguiente paloma ya tiene $p+1$ palomas, que es lo que dice el enunciado.

Ejemplos en los que se utiliza el principio del palomar.

Problema de los calcetines
Supongamos que se apagan los fusibles de nuestra casa y tenemos que sacar a oscuras unos calcetines de un cajón. Si en el cajón tenemos 6 calcetines rojos, 6 azules, 6 blancos y 6 verdes, ¿cuántos calcetines debemos sacar como mínimo para asegurarnos que hemos sacado 2 calcetines del mismo color? ¿Y si te acompaña tu hermano y quiere otro par?

Solución:
  1.  Si sacamos 2 calcetines no estamos seguros que los 2 sean del mismo color, por ejemplo: podemos haber sacado uno rojo y otro azul. Si sacamos 3 calcetines tampoco podemos estar seguros de tener 2 del mismo color, por ejemplo: podemos haber sacado uno rojo, otro azul y otro blanco. Si sacamos 4 calcetines tampoco es seguro que tengamos 2 del mismo color ya que podrían ser los 4 calcetines de colores distintos, es decir, rojo, azul, blanco y verde, aunque no tienen porque salir en este orden. Al sacar 5 calcetines estamos ya completamente seguros de que habrá 2 calcetines del mismo color ya que solo tenemos 4 colores.
  2. Si tenemos que sacar 2 pares, partimos del caso anterior en el cual obtuvimos el mínimo número de calcetines que se tienen que sacar para tener un par. Si sacamos 6 calcetines, el peor de los casos es que saquemos un calcetín del mismo color que el par, es decir, 3 calcetines del mismo color y otros 3 cada uno distinto entre sí. Así, tendríamos un par y 4 calcetines de colores distintos, y por tanto si sacamos un calcetín más obtenemos otro par de calcetines. Luego tenemos que sacar 7 calcetines para asegurarnos que tendremos 2 pares.
Problema de los amigos
En cualquier grupo de 2 o más personas hay siempre 2 de ellas que tienen el mismo número de amigos dentro del grupo.

Solución:

Supondremos que ninguna persona es amiga de sí misma. Supondremos también que el número de personas de dicho grupo es $m\geq 2$, es decir, en el grupo hay al menos 2 personas.

Podemos observar:
  1. Una persona del grupo puede tener como máximo $m-1$ amigos dentro del grupo, es decir, puede tener $0,\,...\,,\,m-1$ amigos.
  2. Si una persona es amigo de todos los demás, entonces no existe ninguna persona en el grupo que no sea amigo de alguna otra persona, y viceversa, si una persona no tiene amigos en el grupo, entonces no existe ninguna persona que sea amigo de todos.
Llamaremos X al conjunto de las personas del grupo, e Y al conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona, luego $Y=\{0,\,...\,,\,m-1\}$. Por último, consideraremos $f : X \longrightarrow Y$ la aplicación que le asocia a cada persona del grupo el número de amigos que posee.

Nota: De la observación 2 sabemos que en el conjunto Y no pueden aparecer los números $0$ y $m-1$, es decir, no puede haber a la vez en el grupo una persona que sea amiga de todos y otra que no sea amiga de ninguno.

Por tanto tenemos 2 casos:

Caso1: Si no existe ninguna persona que sea amiga de todos. En este caso el conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona es $Y_1 = \{0,\,...\,,\,m-2\}$. El número de elementos en el conjunto $Y_1$ es $m-1$. A este número se le denomina cardinal del conjunto $Y_1$.

Caso2: Si no existe ninguna persona que no tenga amigos en el grupo. En este caso el conjunto formado por el número de amigos que puede tener una persona es $Y_2 = \{1,\,...\,,\,m-1\}$. El número de elementos en el conjunto $Y_2$ es también $m-1$.

Por un lado tenemos que el número de personas que hay en el grupo es $m$ y por otro lado que en cada caso tenemos como máximo $m-1$ personas que tienen diferente número de amigos. Luego por el principio del palomar, como $m > m-1$ entonces existen 2 personas que tienen el mismo número de amigos.

Si os ha gustado esto, os propongo el siguiente problema:

Problema propuesto
Comprobad que en cualquier conjunto de 6 personas siempre hay 3 que se conocen entre sí o 3 que no se conocen.

@antonio_arjona7

sábado, 2 de agosto de 2014

Como hallar la letra del DNI

¿Conoces los números de tu DNI pero se te ha olvidado la letra? Descubre en esta entrada como obtener la letra de tu DNI. Además explicaremos porqué nuestro DNI tiene 8 números y una letra.

El Documento Nacional de Identidad es personal, es decir, cada persona viva tiene un número distinto, para así poder diferenciarnos de los demás, ya que es frecuente compartir nombre y/o apellidos con otras personas. En España hay 47 millones de personas aproximadamente, por tanto como este número es bastante inferior a 100 millones se eligió diferenciar a todos los españoles vivos con un número de 8 cifras.

Imagínate que una persona que tiene un DNI parecido al tuyo comete una infracción de tráfico. Un DNI es muy parecido al tuyo si es igual salvo un dígito, por ejemplo $87654321\,\, y \,\,87654320$ o cuando se intercambian 2 cifras consecutivas de posición, por ejemplo $98765432 \,\,y\,\, 89765432$. ¿Es posible que por error manden la multa a tu casa? Es muy raro que esto suceda. ¿Por qué? Descúbrelo al final de esta entrada.

Ahora vamos a explicar como calcular la letra de nuestro DNI, si es que no nos acordamos.
  1. Dividir el número entre 23 y quedarnos con el resto de la división, que es un número entre 0 y 22.
  2. Ver que letra tiene asociada el número que hemos obtenido en la siguiente tabla.

Nos puede surgir la siguiente pregunta. ¿Por qué tenemos que dividir por 23? Como sabemos el alfabeto español tiene 27 letras, así que lo lógico sería en principio dividir por 27 y a cada resto le asociamos una letra de nuestro alfabeto. Pero algunas letras se pueden confundir con otras o con algún número, como por ejemplo la U, que se puede confundir con la V, la I con el 1, la Ñ con la N y la O con el 0. Así, en lugar de tener 27 letras tendremos 23.

Veamos un ejemplo:

Si el número de nuestro DNI es 84.215.164, y queremos calcular el resto al dividirlo entre 23, podemos hacerlo de 2 formas:
  1. Como nos enseñaron de pequeños, con el cajoncito.
  2. Usando calculadora para ahorrarnos los cálculos.
     En primer lugar debemos dividir el número de nuestro DNI entre 23.
  • Si el número resultante no tiene decimales es porque el resto de la división es 0.
  • Si el número resultante tiene decimales. Cogemos este número con decimales y le restamos el mismo número pero sin decimales. Con el resultado lo multiplicamos por 23 y así obtenemos el resto de la división de nuestro número del DNI entre 23.
     Veremos ahora como obtener el resto de dividir 84.215.164 entre 23 con la calculadora.
  • $84.215.164 / 23 = 3661528'8695652173... $
  • $3661528'8695652173... - 3661528 = 0'8695652173$
  • $23 \cdot 0'8695652173... = 20$
Como el resto es 20, basta buscar la letra asociada a 20 en la tabla. Dicha letra es C.

Así, cuando encontremos el DNI veremos que hemos acertado con la letra.


Los fallos más comunes son los anteriormente mencionados, es decir, cuando escribimos un DNI que es muy parecido al nuestro. El resto que nos daría como solución del DNI parecido sería distinto del que tendría que darnos con nuestro DNI y por tanto la letra obtenida con el número erróneo no sería la misma que la que aparece en el DNI y así detectaríamos el fallo. Por ello, es necesario que aparezca un "dígito de control", es decir, una letra o en otros casos un número para evitar que ocurran los fallos más comunes.

Muchas veces hemos escuchado que en la parte posterior del DNI, el número que aparece en la derecha y abajo indica el número de personas que coinciden con nosotros en nombre y apellidos. ¿Es cierto? Descubre esto y mucho más en el siguiente enlace.

Como curiosidad diremos que el rectángulo que forma el DNI es un rectángulo áureo, es decir, aquel que el cociente de la base entre la altura da el número de oro o número áureo.
$$ \frac{base\,DNI}{altura\,DNI}=\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1'618033988749... $$
Para saber más sobre el número de oro y otro tema relacionado con él, como es la sucesión de Fibonacci, podemos ver la siguiente entrada.

@antonio_arjona7