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lunes, 21 de diciembre de 2015

Matemáticas para pasar las navidades

Llegan las navidades y con ellas las vacaciones. Comienza el tiempo libre y para algunos/as el aburrimiento. Es hora de hacer algo diferente en estas navidades y hacer que sean únicas. Para ello os propongo una serie de actividades matemáticas, y con actividades no me refiero a ejercicios, sino a nuevas formas de utilizarlas, aprender y disfrutar de ellas.

Estoy harto de escuchar que las matemáticas están asociadas a aburrimiento, a ejercicios repetitivos y mecánicos y sobre todo a horror y temor de quiénes las utilizan. Estamos a tiempo de cambiar esta percepción de las matemáticas como algo inaccesible y lejos de nuestro alcance. Tenemos que encontrar su utilidad y encontrar la relación que existe con nuestras vidas y con todo lo que nos rodea. ¿Qué sería de nuestras vidas sin números y matemáticas? Efectivamente, un caos. Si no lo crees tienes que ver el siguiente vídeo.


No os entretengo más y comienzo a ofreceros algunas ideas para pasar de manera amena las navidades aprendiendo y utilizando las matemáticas. ¡Llena tu vida de matemáticas!
  • Decorar un árbol de navidad. Puedes dibujar un árbol navideño y decorarlo con fórmulas matemáticas, las que más te gustan, las que te maravillan. También puedes decorar tu árbol de navidad añadiéndole figuras geométricas como un triángulo de Sierpinski en 3D, cubos, octaedros, estrellas pentagonales, omnipoliedros, ...
http://mediablogs.cadenaser.com/grado-361/files/2012/12/arbol.jpg


  • Escribir poemas matemáticos es una manera de relajarte en casa, sacar tu vena amorosa y expresarle tu amor a la persona que quieres. ¡OJO! Utiliza conceptos sencillos e intuitivos para que evitar que se aburra.
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQlCElkPmEmuJEHQ4hzqqO-LRBXWbxdWeaFTzmmchcLuaYIlHu6oA

  • Disfrutar del cine matemático. En navidades solemos quedar habitualmente con amigos o familiares en casa. En estos momentos decidimos ver alguna película o serie en la televisión y posteriormente comentarla. Internet nos ofrece una amplia variedad de películas y series relacionadas con las matemáticas que nos despertarán un mayor interés por esta bonita disciplina. Aunque estas películas traten contenidos matemáticos, no dejan de ser películas apasionantes, interesantes y muy buenas. Al hablar de algunas de sus escenas y comentar aquellos objetos o curiosidades que aparecen, estarás aumentando tus conocimientos matemáticos e incrementando tu interés y motivación por dicho aprendizaje. También puedes intentar resolver los acertijos que se plantean, por ejemplo, en la película La habitación de Fermat o en Los crímenes de Oxford. Además, existen series intrigantes como Numbers y series graciosas como Los Simpsons con las que pasar un buen rato, echar unas risas y aprender algunos conceptos matemáticos y físicos. A continuación veremos varios ejemplos de este tipo de películas y series:
  1. Los crímenes de Oxford.
  2. La habitación de Fermat.
  3. The emitation game $(descifrando\,enigma)$.
  4. 21 Black Jack.
  5. Moëbius.
  6. El número 23.
  7. Una mente maravillosa.
  8. Pi. Fe en el caos.
  9. El indomable Will Hunting.
  10. Donald en el país de las matemáticas $(para\,niños)$.
  11. Los Simpsons $(serie)$.
  12. Numbers $(serie)$.
  • Bailar. En estas fechas tan especiales aprovechamos parte de nuestro tiempo para mover el esqueleto, pero ¿ qué mejor manera de hacerlo que representando funciones matemáticas ? ¿Cuál es el movimiento con el que más te identificas? Esta es una buena forma de aprender o recordar las funciones de manera divertida.
desmotivaciones.es
  • Cantar canciones o ver vídeos musicales de matemáticas. Existe una relación fuerte entre la música y las matemáticas, parte de esto puede verse en la película Donald y las matemáticas. En primer lugar, la escala musical está basada en las fracciones.  Muchas composiciones musicales están basadas en la simetría. Otro ejemplo de esta relación lo dio Mozart, el cuál describió un juego de dados que consiste en la composición de una pequeña obra musical. Además, podemos encontrar varios ejemplos más como éste, composiciones basadas en distribuciones aleatorias. Os dejo una tesis de música y matemáticas. Por otro lado, existen muchas canciones relacionadas con temas matemáticos y podemos proponer actividades como cantar dichas canciones o crear poemas y composiciones nuevas. En el siguiente enlace os ofrezco una recopilación de canciones matemáticas que realicé hace tiempo y que os recomiendo que veáis, además, en dicho artículo, propongo una serie de actividades para su utilización en una clase de matemáticas de secundaria.

Canon del cangrejo de Bach. Música, banda de Moëbius y simetría.


  • Realizar un dibujo para expresar tu amor hacia tu pareja o la persona de la que estás enamorada. Puedes mandarle un corazón matemático, la representación gráfica de tu amor, ...
Un corazón completito $(catedu.es)$
Fuente:   http://imagenesdeamor.me/2015/06/
  • Tatuarte un símbolo, fórmula, concepto, figura geométrica, etc. Existen muchas expresiones y figuras matemáticas caracterizadas por su belleza y su carácter impactante para nuestros ojos. Si quieres tatuarte el cuerpo y todavía no sabes el qué, te ofrecemos algunas ideas:
  
Fuentes: 1)  www.lapatilla.com/site/2011/02/22/el-tatuaje-mas-bello-del-mundo
2) Pinterest.com                                                                   
3) http://blogtatuajes.com/tatuajes-de-signos-matematicos
  • Confeccionar una camiseta, unas zapatillas o bolso matemático. En él puedes incluir fórmulas como el binomio de Newton, el teorema de Pitágoras, el último teorema de Fermat, el cuadrado mágico de Durero, un diagrama de Venn, una gráfica, o cualquier concepto o fórmula matemática que se te ocurra, por ejemplo: $$ e^{\pi \, i}+1=0$$
Bolsos matemáticos 

Zapatillas matemáticas

Puedes encontrar varias camisetas matemáticas auí.

  • Resolver acertijos matemáticos es una manera magnífica para entretenerte en esos días de frío sentados en la candelita y mejorar tus capacidades para resolver problemas numéricos y de la vida cotidiana. Además, se puede utilizar como elemento motivador que los acertijos estén relacionados con temas navideños. Muchas disciplinas como la economía, biología, química, física, ingenierías, ... necesitan personas capaces de resolver problemas puntuales mediante el uso de conceptos matemáticos. Además, gran parte de las situaciones de la vida pueden modelizarse mediante patrones o modelos matemáticos, como las poblaciones de cualquier tipo de animal o planta, los icebergs, las enfermedades, etc. Por este motivo, es fundamental que todos los individuos sean competentes matemáticamente hablando. Para facilitar este proceso os proponemos algunas páginas para resolver acertijos.

  1. Matemáticas recreativas y educativas.
  2. Matemáticas cercanas.
  3. Acertijos matemáticos.
  4. Juegos de lógica.
  5. Desafíos matemáticos del periódico El País. Varios de estos acertijos están íntimamente relacionados con la navidad, pues tratan sobre la lotería y la probabilidad de ganar algún premio, en particular, el más preciado, el premio gordo. A propósito del premio gordo os dejo el siguiente vídeo.


Os propongo en especial un reto matemático. Desafío extraordinario de navidad de El País. Por Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid.








  • Decorar tus uñas. Si eres presumida y quieres demostrar que lo tuyo son las matemáticas, qué mejor manera que hacerlo que pintándote el número $\pi$ en ellas. También puedes elegir el número e o $\phi$.
      
          1) http://1.bp.blogspot.com/-M6To4KRsX5I/T14IpsKm5HI/
AAAAAAAAGmM/HUfUJbwq6_c/s1600/u%C3%B1as.jpg
                  2) http://interlinkeo.com/wp-content/uploads/2014/06/unas10.jpg
         3) http://1.bp.blogspot.com/-Exgpfuh26TE/VLxb2hWgTbI/
AAAAAAAAB7Q/Fuop3AYsims/s1600/6.jpg
4) https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/736x/82/c8/
f8/82c8f832a93584e3528773cb0b7aa0f9.jpg

  • Cocinar. Para ejecutar cualquier receta es imprescindible manejar las proporciones, ya que si la receta que manejamos es para 2 personas y nosotros queremos hacerla para otro número cualquiera de personas es necesario que la comida aumente o disminuya en proporción a ese número de personas. La actividad culinaria que propongo realizar en navidades es la decoración de un pastel o tarta con conceptos matemáticos, ideal si se la quieres regalar a alguien que les gusten las matemáticas. Puedes ver algunos ejemplos muy dulces a continuación.


Fuente:   www.abadiadigital.com/tarta-de-cumpleanos-para-matematicos



Fuente:   iesrioaguas.wordpress.com

¡Más postres y tartas!

  • Reconocer las matemáticas que nos rodean. Continuamente, en navidades, salimos a ver los adornos navideños que se encuentran en las calles y no prestamos mucha atención a las belleza geométrica que se muestra ante nuestros ojos. Sería interesante fotografiar aquellas imágenes de la naturaleza y de la vida cotidiana que estén relacionadas con las matemáticas e identificar en ellas las formas geométricas y los conceptos más representativos. Ejemplo de ello son los siguientes:
Igualdades matemáticas con ventanas.

Árbol de navidad, pirámide cuadrangular con forma de Pacman.
jpegnerdgasmo.com

Árbol de navidad, con forma de cono.
Fuente:   Evamate

En una clase de secundaria se podría plantear mediante un concurso fotográfico para dos distintos niveles, secundaria y bachillerato. Los temas a tratar pueden ser: matemáticas en el zoo, matemáticas en las redes sociales, arquitectura y matemáticas, etc. Las tres fotografías más innovadoras serán premiadas con un libro de matemáticas del nivel en que se encuentre dicho alumno.
  • Investigar curiosidades matemáticas. Las siguientes curiosidades numéricas, como podemos observar, se pueden expresar en forma de árbol de navidad. Así, podemos tomar como escusa la navidad para hacer hincapié en la curiosidad matemática que cada uno llevamos dentro. Para ello podemos comenzar con resultados sorprendentes y de manera progresiva aumentar la formalidad de los resultados, hasta llegar a una demostración rigurosa de la misma.

  • Aplicar la papiroflexia para representar figuras geométricas, y posteriormente colgarlas en un árbol de navidad, por ejemplo, podemos crear dodecaedros, icosaedros, cubos, ... Véase la figura superior.
  • Leer libros de matemáticas. Os dejo una colección de libros matemáticos que considero interesantes:
  1. Malditas matemáticas.
  2. El diablo de los números.
  3. Fermat. El mago de los números.
  4. Los crímenes de Oxford.
Éstos y otros libros los puedes encontrar en Matemáticas: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... En esta página además puedes obtenerlos en PDF.

  • Curiosidades.

Ecuación navideña. "Merry Christmas"

Fuente: memespp.com/merry-christmas-9gag


Finalmente nuestros mejores deseos para vosotros, los lectores de este blog.



PD: 1)  Si alguno de vosotros conocéis algún instituto privado o concertado en España, aunque mejor si está cerca de Sevilla $(no\, bilingüe)$, por favor, comentármelo. El mejor regalo que podría recibir por reyes es poder empezar a trabajar como profesor de matemáticas, y porqué no, aplicar algunas de estas ideas en clase.
2) Sé que este artículo es muy friki.
3) Si conocéis alguna otra forma de disfrutar de las matemáticas en navidades, dejad un comentario.
4) La última imagen tiene errata, ¿no lo viste?

Esta entrada participa en la Edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Ztfnews.

@antonio_arjona7

martes, 20 de octubre de 2015

Canciones matemáticas y su utilización en clase

Estamos hartos de escuchar canciones de pop, rock o reggaeton. Pero, ¿habéis escuchado alguna canción matemática o que contenga contenido matemático? Aunque parezca una fricada, que lo es, existen este tipo de canciones en las que se tratan contenidos de matemáticos, y no por ello dejan de ser canciones interesantes. Por lo menos es una manera entretenida de aprender cosas que en un principio nos puedan parecer aburridas.



Creo que la utilización de canciones matemáticas en el aula es una buena forma de motivar a los alumnos para que se impliquen con la asignatura. Por lo menos es una manera más innovadora y amena de introducir un concepto o recordarlo. Y puede que hasta algún alumno al escucharla por segunda vez se anime a cantar, jeje.

En mis prácticas de profesor de matemáticas, hace unos meses introduje el teorema de Thales a través de la canción de Les Luthiers sobre dicho teorema. Tras un cuestionario final, una parte considerable de los alumnos comentaban que la actividad era divertida y atractiva, mejor que las explicaciones tradicionales a las que estaban acostumbrados.

Mi propuesta es realizar un trabajo grupal en el que los alumnos a partir de una melodía elegida creen una letra matemática para ella y que posteriormente la canten en clase o que graben un vídeo con su canción. Cada grupo tendría voz y voto y elegirían a las 3 mejores interpretaciones. El profesor, guiado por los comentarios calificaría a los alumnos y esa calificación entraría como nota de trabajos en casa. Otra opción es premiar con decimas extra a las tres mejores interpretaciones.

Más adelante, podréis observar algunos vídeos en los que se aprecia como se divierten los alumnos cantando una canción matemática propia. Porque las matemáticas también pueden ser divertidas, simplemente basta proponer actividades que atraigan la atención de nuestros estudiantes y les metan el "gusanillo" por esta apasionante asignatura. Aquellos alumnos que elijan grabar un vídeo y colgarlo en YouTube o simplemente llevarlo a clase en un pendrive estarán desarrollado además la competencia digital, ya que tendrán que manejar programas de montaje de vídeos, retoque de imágenes, etc.

Aunque esta actividad en un principio parezca meramente matemática, también se puede utilizar para desarrollar la competencia lingüística: se trabaja la expresión oral, la expresión escrita para crear la letra y también los contenidos de rimas asonantes y consonantes. Por otro lado, la competencia social y ciudadana y la iniciativa personal, ya que los alumnos deben dialogar, debatir, pensar y plantear ideas que servirán para construir la canción que finalmente cantarán. También se potencia la creatividad de los alumnos y favorece el clima de clase.

Los alumnos están acostumbrados a clases magistrales tradicionales, las cuales saturan de contenidos a nuestros alumnos. Los profesores debemos implicarnos más en su educación y estar continuamente aprendiendo nuevas metodologías y estrategias que les motiven y en algunos casos incluso los ilusionen por aprender.

Ahora pasaremos a ver las canciones matemáticas que he podido recopilar. La primera de estas canciones trata sobre el teorema de Pitágoras. He encontrado varias canciones, una de ellas cantada por alumnos y otra por un profesor. 

Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 






Por ejemplo: $3^2+4^2=5^2$ o $5^2+12^2=13^2$

La primera canción está cantada por los Hooligans.

Esta segunda, está cantada por tanguillos por Diego Jurado. 

 En este caso, la canción es un rap, cantada por alumnos al estilo del Principe de Bel air.

La segunda de estas canciones es el teorema de Thales, cantada por Les Luthiers. En el vídeo siguiente a medida que se canta se va mostrando realmente lo que va diciendo el teorema.

Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera r y s son cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en ellas son proporcionales.

La tercera trata sobre funciones trigonométricas, tipos de ángulos, tipos de triángulos, etc. En este caso también está interpretada por alumnos. 

Esta cuarta se habla sobre la constancia que debemos de tener con las matemáticas. No debemos rendirnos ante ellas porque ellas son así y hay que quererlas como son.

El siguiente y quinto vídeo habla sobre las reglas de los signos para sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Una buena forma para aprender estas reglas que tanto quebradero de cabeza forma a nuestros alumnos.

En sexto lugar, tenemos una cumbia matemática, en ella se explica los tipos de ángulos que existen, además hablan sobre los tipos de números: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Reales e incluso también mencionan a los números Complejos.


El siguiente vídeo es una aportación del amigo Pedro M., la canción está cantada por el grupo Santa Fé y cuyo título es Pi 3,14. Sin más veamos la canción.

Si conocéis alguna canción más que sea digna de mención, dejadlas como comentario y las añadiré para que los demás también puedan verlas.

Finalmente os dejo un enlace sobre una canción que me ha gustado bastante. No tiene desperdicio o por lo menos es graciosa jaja. Sin más comentar algunas frases que son verdades como castillos "las matemáticas están detrás de todo", en el fondo, en las bases y estructuras de las cosas, "son eternas", "allá donde se junten un par de catetos y una buena hipotenusa, el teorema de Pitágoras funciona a topee, a topee". Esto es pasión por las matemáticas. No paséis sin verlo.
¿Para qué sirven las matemáticas?


Esta entrada participa en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Matifutbol.
@antonio_arjona7

jueves, 1 de octubre de 2015

Acertijo numérico

Acertijo 1


Acertijo 2
Encuentra un número primo del 1 al 100 tal que su inverso es también número primo y la media aritmética de ambos es un número de Fibonacci.


@antonio_arjona7

miércoles, 16 de septiembre de 2015

Fermat. El mago de los números en una clase de matemáticas

Uno de los objetivos principales para un docente debe ser la motivación de sus alumnos mediante el planteamiento de actividades que les metan el ``gusanillo" en el cuerpo acerca de la asignatura.

En este caso he elegido la utilización de un libro de historia de las matemáticas para exponer algunos temas que se me ocurren abordar después de su lectura. El libro en cuestión se llama Fermat. El mago de los números, cuyo autor es Blas Torrecillas Jover. La editorial de edición es Nívola y el año de edición del libro 2.003.



www.nivola.com/portadas/fermat-2-web.gif

Podemos utilizar esta lectura en clase para:
  1. Tratar los criterios de divisibilidad, los números primos o la criba de Eratóstenes. Además, al hablar de números primos podemos comentarles cuales son los números primos de Fermat e incluso hablar un poco sobre su vida. El nivel al que pertenecen estos conceptos es $1º$ ESO y $2º$ ESO.
  2. Ampliar los conocimientos de los alumnos sobre los divisores de un número. Para ello se puede abarcar el tema de la suma de los divisores de un número, los números perfectos y los números amigos. Los cursos en los que se puede utilizar, por su relación con el currículo, son $1º$ ESO y $2º$ ESO, si bien éste es un tema que se podría utilizar en cursos posteriores.
  3. Introducir la probabilidad o la combinatoria. En esta parte se puede hablar sobre la correspondencia de Fermat con Pascal que dio lugar al descubrimiento de la teoría de probabilidades y también se puede hacer una breve biografía de ambos, para poner así a los alumnos en situación. En este caso el nivel al que pertenece es $3º$ ESO y $4º$ ESO, si bien se puede tratar también en cursos de bachillerato.
  4. Hablar sobre las cónicas. En relación con este tema se puede hacer un pequeña introducción histórica tratando autores como Apolonio de Perga y Fermat. El tema corresponde a $1º$ de Bachillerato $(Matemáticas\, I)$.
  5. Introducir como curiosidad en el bloque de álgebra el último teorema de Fermat, en relación con el teorema de Pitágoras, sobre todo en cursos más avanzados como $1º$ y $2º$ de bachillerato.
  6. Realizar una introducción histórica sobre el cálculo diferencial o integral. De esta forma los alumnos serán conscientes de como fue evolucionando el pensamiento con respecto a estos temas. Los cursos en los que se puede utilizar son $1º$ de Bachillerato y $2º$ de Bachillerato, en el caso del cálculo integral sólo en $2º$ de Bachillerato $(Matemáticas \,II)$.
Como podéis observar este libro ofrece un amplio abanico de temas a tratar en clase. Si todavía no os ha convencido el libro os ofrezco un comentario personal sobre el capítulo más interesante en mi opinión.

El episodio que me parece más interesante es el capítulo XII que trata sobre el último teorema de Fermat. He elegido este capítulo porque es un tema que me interesa bastante. Desde que descubrí dicho problema hace unos 8 o 9 años me ha ido fascinando cada vez más, a medida que he ido conociendo más sobre él. Lo que más me sorprende es que un problema, aparentemente tan simple $(por \,su\, enunciado)$ pueda tener en ''jaque'' a los mejores matemáticos de la época y durante 300 años.

Este problema me ha hecho ver como las matemáticas pueden ser adictivas, ya que muchos de los matemáticos que se interesaron por el problema cayeron en sus redes e intentaron a toda costa resolverlo. Se obsesionaban con encontrar una solución a dicho problema y quedaban frustrados cuando sus resultados eran erróneos, ante lo cual no se rendían y volvían a intentarlo sin éxito. Esto me hace plantearme si vale la pena estudiar un problema tan complicado en el que muchos anteriormente han fracasado y en el que seguramente podamos fracasar nosotros también. Sin duda, la mera posibilidad de triunfar, de ser reconocidos como autores de tales descubrimientos hace que merezca la pena todos y cada uno de los minutos y segundos que le dediquemos a él.

Es curioso que tanto Fermat como Wiles tuvieran la misma forma de trabajar, caracterizada por su secretismo y aislamiento. Sin embargo, una de las diferencias que existen entre ellos es que Fermat no publicó nada en vida y Wiles sí, por el hecho de que quería obtener el reconocimiento de dicha publicación. 

Para saber más:
  1. El Último teorema de Fermat y su aparición en los Simpsons.
Os recomiendo leer el libro Fermat. El mago de los números. Está muy bien.

@antonio_arjona7

jueves, 13 de agosto de 2015

Matemáticos famosos

Escribe el nombre de matemáticos/as famosos/as que comiencen por todas las letras del abecedario, salvo la ñ.


lunes, 27 de julio de 2015

Escribe los números del 1 al 100 con 4 cuatros

El acertijo de esta semana propone escribir los números naturales del 1 al 100 de una forma muy particular, utilizando 4 veces el número cuatro. ¿Te animas a hacerlo?

PD: Si ves que te atrancas al intentar sacar alguno utiliza las pistas.

Si quieres saber más sobre este tema entra en el siguiente enlace Gaussianos.
@antonio_arjona7

jueves, 16 de julio de 2015

Fermat. El matemático aficionado

En este post os hablaré sobre la vida de Pierre de Fermat y sobre los temas más importantes que trató a lo largo de su vida.

Pierre de Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne $(Francia)$ y murió el 12 de enero de 1665 en Castres $(Francia)$. Era hijo de Dominique Fermat, un rico comerciante de pieles que desempeñó diferentes cargos en el gobierno,  y de Claire de Long, descendiente de una familia de juristas. Fue criado y educado en su ciudad natal. Dominaba los idiomas europeos de mayor importancia de la época, además del griego y el latín y era un apasionado de la literatura, la poesía.

Entre 1625 y 1630 se trasladó a Burdeos, donde empezó a realizar sus primeras investigaciones matemáticas. Aprendió geometría, como otros muchos matemáticos de la época, a través de siete de los ocho libros de Cónicas de Apolonio de Perga. El octavo libro $(Plane \,\,loci)$ se encontraba desaparecido. Fermat, en 1629 hizo una reconstrucción de dicho libro mediante la información que habían dado otros autores anteriormente, como Papus de Alejandría.

Estudió leyes en Toulouse y se graduó en la universidad de Orléans en 1631. En dicho año obtuvo un puesto de magistrado en el Parlamento de Toulouse y se casó con Louise de Long, prima de su madre. Desde su nombramiento, Fermat fue ascendiendo en la política hasta que en 1652 alcanzó el máximo nivel en la corte criminal.

Parte del trabajo de Fermat lo conocemos gracias a la correspondencia que tuvo con otros matemáticos de la época, ya que rechazó el reconocimiento público en vida. Además, su amigo Pierre de Carcavi también se dedicó a difundirlo entre los matemáticos más importantes de la época, ya que éste era fundador de la Academia de las Ciencias.

A pesar de ser un matemático aficionado realizó bastantes avances tanto en la teoría de números, como en la geometría analítica y en el cálculo de probabilidades.

Uno de los temas que le interesaban a Fermat era la búsqueda de un método que nos dijera si un número cogido al azar es primo o no. Esto era debido a que el método que se conocía $(método \,\,de \,\, las \,\,divisiones)$ era muy laborioso y requería de mucho cálculo y tiempo cuando el número era cada vez mayor. Fermat se dedicó a él en numerosas ocasiones y al resultado que llegó fue a la conjetura de que los números de la forma $N_n=2^{2^{n}}+1$ son primos. A estos números $N_n$ se le conocen como números primos de Fermat. Llegó a esta conjetura pensando que si los primeros cinco números lo cumplían, debía cumplirse para los posteriores. Un siglo después, en 1739, Euler encontró que 641 era divisor del siguiente número de Fermat $(N_5 =2^{2^5}+1)$. Además probó que cualquier divisor de un número primo de Fermat $N_t$, era de la forma $2^{t+1} k +1$. A partir de entonces estos números perdieron su interés. Tiempo después se volvió a retomarse debido a la conexión con un problema clásico griego que estaba sin resolver. El problema consistía en saber cuales son los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás. Unos dos mil años después, en el año 1801, Gauss demostraba que un polígono regular de $n$ lados se puede construir con regla y compás si, y solo si, $n=2^r \cdot p_1  \cdots  p_s$, donde $r$ y $s$ son números enteros mayores o iguales que 0 y los primos $p_i$ son de la forma $2^m +1$. La forma de estos $p_i$ es la que nos hace seguir buscando números primos de Fermat. Actualmente sólo se conocen los cinco primeros, y se sabe que no existe ninguno más con menos de 40000 cifras. La aparición de la criptografía también ha influido en que se halla intensificado dicha búsqueda.

Fermat también se dedicó al estudio de los números perfectos, consecuencia de su estudio apareció su pequeño teorema de Fermat, tal y como se puede apreciar en la carta escrita a Mersenne en 1640. Además también se dedicó a estudiar los números perfectos por múltiplos y descubrió el segundo ejemplo conocido hasta la fecha, el 672, en el que la suma de sus divisores menos dicho número era el doble del número.

Otro de los temas que abordó Fermat son los números amigos, para los cuales reinventó una regla del matemático Abu-l-Hasan Thabit ibn Qurra, en la cual sostiene que para cualquier número $n>1$ si $p=3\cdot 2^{n-1} -1$, $q= 3 \cdot 2^n -1$, $r=9 \cdot 2^{2n-1} -1$ y son los 3 números primos, entonces los números $2^n pq$ y $2^n r$ son números amigos. Esta regla nos sirve para hallar números amigos, pero no todo número amigo se obtiene a partir de esta regla. De hechos otros matemáticos como Descartes, Euler o Paganini encontraron algunos números que no cumplen dicha propiedad. Actualmente, con el uso de ordenadores se ha aumentado la lista de parejas de números amigos.

Entre sus aportaciones podemos destacar:
  1. El pequeño teorema de Fermat, el cual aparece enunciado en una carta dirigida a Frénicle de Bessy en 1640. El teorema dice que para cualquier número entero $a$ y cualquier número primo $p$ se verifica que $p$ divide a $a^{p-1}-1$. Como tenía por costumbre, Fermat no aportó demostración alguna por temer ser demasiado larga. El que sí que la realizó fue Euler, en el año 1736. Además la generalizó 24 años más tarde. Posteriormente, con la aparición de Gauss se introdujo la aritmética modular, con la cual los cálculos se simplificaban muchos, ya que para calcular el resto de una suma o producto bastaba con calcular la suma o producto de los restos.
  2. El método de factorización de Fermat. Este método se encuentra en una carta que el propio Fermat le envía a Mersenne $($padre franciscano que fue elegido como intermediario entre los matemáticos de la época$)$ sobre el año 1643. La idea de Fermat era que si un número es diferencia de cuadrados entonces se puede factorizar fácilmente como $n= x^2 - y^2 =(x+y) \cdot (x-y)$. El método comienza tomando un número entero candidato $x$ que sea mayor que $\sqrt{n}$. Después se calcula $x^2 - n$ y si se obtiene un cuadrado perfecto entonces hemos acabado, en caso contrario se vuelve a tomar otro candidato $x$, en este caso una unidad mayor que el anterior y se repite el proceso hasta encontrar dicho $x$.
  3. El descubrimiento, junto con Blaise Pascal de la teoría de probabilidades. Fermat, en el año 1654 estableció correspondencia con Blaise Pascal, matemático, filósofo y escritor. En dicha correspondencia se establecieron las ideas claves sobre la teoría de probabilidades. Por este motivo se les considera como los padres de dicha teoría. El problema que se plantearon fue el de dos amigos que se encuentran jugando. Uno de ellos tiene que ganar 2 partidas para vencer y el otro, en cambio, tiene que ganar 3. Finalmente lo que se quiere saber es la probabilidad que tiene cada uno de vencer. Tanto Fermat como Pascal se dieron cuenta de que los casos que se planteaban no eran equiprobables. Además se puede apreciar como Fermat desarrolla implícitamente lo que se conoce como el teorema de las probabilidades totales.
  4. El método del descenso infinito. Este método permite probar la imposibilidad de que ocurran algunos hechos. El método consiste en suponer que hemos encontrado un número entero como solución a nuestro problema, y a partir de ahí encontrar una solución más pequeña. Si continuamos con este procedimiento obtenemos infinitas soluciones menores pero como no existen infinitos números más pequeños que uno fijado entonces llegamos a que lo que suponíamos al principio es falso, o lo que es lo mismo, no existe solución entera para dicho problema.

Fermat, junto con Descartes fueron los primeros en poner los cimientos de la geometría analítica, ambos inspirados en las aportaciones de Viète. Fermat introdujo las coordenadas para el estudio de problemas de geometría $(1636)$, luego para resolverlos bastaba con hacer uso del álgebra. Aunque su trabajo lo realizó un año antes que Descartes, su publicación fue posterior, en el año 1679.

Se dedicó a estudiar el problema de los máximos y mínimos de una función. Su método se basaba en encontrar puntos en los que la tangente sea paralela al eje de abscisas. Para ello utilizó un método de Diofanto. También se dedicó a calcular el área encerrada entre una curva y una recta, inspirándose en los trabajos de Roverbal y Cavalieri pero de forma más rigurosa. Este método que utilizó Fermat es parecido al que actualmente se utiliza para calcular las integrales.

En cuanto a su relación con la teoría de números, Fermat se introdujo al estudio de esta teoría debido a una copia de la Aritmética de Diofanto que poseía, sobre la cual anotaba comentarios al margen en relación con los problemas planteados en el libro. Hoy día se le considera el padre de la teoría de números. Dos de sus aportaciones a esta teoría fueron:

Comprobar que los números primos de la forma $4n+1$ se pueden expresar de manera única como suma de cuadrados. La segunda es el último teorema de Fermat que aparece en el margen del libro que se mencionaba anteriormente. El teorema, según él, no lo demuestra por falta de espacio. Su enunciado es el siguiente:

La ecuación $x^n + y^n = z^n$ no posee soluciones enteras, salvo la trivial $(x=y=z=0)$, para cualquier $n>2$.

Las aportaciones que se realizaron inicialmente fueron escasas. Se basaban en la demostración para un caso particular. Esta contribución la realizaron matemáticos como el propio Fermat, Euler, Legendre, Dirichlet. Otros matemáticos como Cauchy, Wantzel y Lamé propusieron demostraciones de dicho teorema. Finalmente en todas y cada una de ellas aparecía un error que la rechazaba como válida. Kummer hizo aportaciones al trabajo inicial de Lamé, introduciendo los números complejos ideales, los cuales se pueden factorizar de forma única. Estos números solventaban el error de la demostración de Lamé en algunos casos. Hasta el año 1983 apenas hubo avance, de hecho sólo se conocía la validez del teorema para $n<600$.

Los siguientes avances de importancia los realizó Taniyama, planteando conjeturas sobre curvas elípticas. Wiles probó unos ciertos casos particulares de una de estas conjeturas, llamada conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, a partir de los cuales se demostraba el último teorema de Fermat. La demostración la realizó en secreto, sobre todo en los primeros 6 años. En 1993 anunció la demostración del teorema, sin embargo, se encontró un error que le llevó a posponer su publicación. Tras otros dos años de aislamiento Wiles obtuvo la tan ansiada demostración.

Para saber más:
  1. En el siguiente enlace el Último teorema de Fermat y su aparición en los Simpsons se habla sobre la relación que existe entre el teorema de Pitágoras y el Último teorema de Fermat, se habla sobre los números de Fermat, el Pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat para la suma de cuadrados, la aparición del Último teorema de Fermat en la serie los Simpsons y algunas conclusiones sacadas sobre el tema.
  2. Puedes disfrutar con la película La habitación de Fermat, en la que se habla un poco sobre el tema.
Referencias:
  1. Fermat. El mago de los números. Autor: Blas Torrecillas Jover. Editorial: Nívola.
  2. El Último teorema de Fermat y su aparición en los Simpsons.

miércoles, 15 de julio de 2015

Dorsales de fútbol

En un partido de fútbol de segunda división no se identificó al goleador del encuentro. Los periodistas de Marca preguntaron a 3 aficionados el dorsal de dicho jugador. Los testimonios aportados fueron los siguientes:


Aficionado 1 -- El dorsal es un número de dos cifras no capicúa.

Aficionado 2 -- El dorsal tiene tres divisores distintos de 1 y de sí mismo. Además, 2 de estos tres divisores son iguales.

Aficionado 3 -- La suma de sus cifras es igual al número de posibles dorsales que cumplían las dos pistas anteriores.

¿Eres capaz de adivinar el dorsal de la camiseta que llevaba el goleador del equipo?

Nota: Un número capicúa es aquel que se escribe igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

@antonio_arjona7

lunes, 13 de julio de 2015

Premio Dardos para Matemáticas Recreativas y Educativas

El Premio Dardos ha sido otorgado por El Mundo de Alicia Yaiza al blog Matemáticas recreativas y educativas.

Estoy muy agradecido a Alicia Yaiza por visitar mis posts y por acordarse de mi blog para este premio.

El objetivo de este premio es promocionar e interactuar con diferentes blogs, reconociendo los valores que cada blogger emplea, valores que pueden ser culturales, éticos o personales y que demuestran creatividad a través de sus contenidos.
Ahora debo mencionar a otros blogs que, según mi criterio, sean merecedores de recibir el Premio Dardos.


Para obtener el premio los nominados deben colocar la imagen del premio en su blog refiriendo quién le ha dado la mención y nominar a otros blogs que el premiado considere interesantes.

Muchas gracias a todos los que visitáis mi blog y le dedicáis algún rato de vuestro tiempo libre para leerme.

Mis nominados son:

Gaussianos
Divulgamat
Matemáticas Digitales
Blog de Clara Grima
Cifras y teclas
Playa de Bits

domingo, 31 de mayo de 2015

Calculadora científica y los números complejos

Cuando aprendemos algunos conceptos nuevos en matemáticas es importante realizar algunos ejemplos para afianzar dichos conceptos y comprenderlos.

Cuando realizamos cálculos es también imprescindible que empecemos a hacerlos a mano. Sin embargo, cuando ya dominamos estos métodos encontramos la necesidad de utilizar herramientas que nos faciliten el cálculo y nos ahorren tiempo. En este caso os hablaré de la calculadora científica y la posibilidad que nos ofrece para realizar cálculos con números complejos.

He de decir que no todas las calculadoras científicas son capaces de hacer estos cálculos, sino unas muy específicas y programables, como la CASIO FX-570. Los comandos que se van a ofrecer son los de esta calculadora científica.

En el siguiente enlace se explica el tema de los números complejos, correspondiente a 1º de Bachillerato $ ( $Opción B$ ) $. Para la exposición del tema, y en particular de sus ejemplos, se hace uso de la calculadora científica. Esta explicación se hace paso a paso, aportando las teclas que se deben pulsar para la obtención de dichos resultados. Además, se exponen los resultados que aparecen al hacerlo.


@antonio_arjona7

lunes, 6 de abril de 2015

Repaso. Perímetros, áreas y volúmenes de figuras

En esta entrada del blog os dejo un repaso de perímetros, áreas, superficies y volúmenes de figuras.

En este primer enlace os dejo un archivo docx en el que aparecen los perímetros y áreas de las figuras planas más representativas. Es importante que conozcáis el perímetro de la circunferencia y el área del círculo y no equivocarse en esto ya que no podemos hacer el área de una circunferencia porque esta está vacía por dentro.

Figuras geométricas

Como habéis podido comprobar estos son los casos más sencillos y cuyas fórmulas son conocidas, pero ¿Cómo podemos calcular el área de un polígono irregular de un número cualquiera de lados? La respuesta es sencilla, basta dividir este polígono en triángulos y calcular el área de cada uno de estos. El área de este polígono irregular será la suma de todas y cada una de las áreas de los triángulos.


$$A_P=A_{T1}+A_{T2}+A_{T3}+A_{T4}$$
En este segundo enlace que os dejo es otro archivo docx en el que aparecen los volúmenes y superficies de los cuerpos geométricos que más se utilizan. Los más importantes para nosotros serán el cono, la esfera y el cilindro.

Cuerpos geométricos

Como podemos apreciar el cono podemos encontrarlo en los capirotes de semana santa o en los capiruchos de helado. Los cilindros, por su parte, en latas de refresco, en los tubos, etc. Un ortoedro es similar a una caja de zapatos. Las esferas las podemos encontrar en los globos terráqueos, si bien la Tierra está achatada por los polos, en las pelotas de tenis, ...

Un cono truncado o tronco de cono se obtiene mediante el corte de un cono por un plano paralelo a la base, como podemos observar en la imagen de la izquierda. En la imagen de la derecha encontramos una imagen del tronco de cono.



Para calcular su volumen partimos del volumen del cono grande y le restamos el volumen del cono pequeño. $$ V_{Tronco\,de\,Cono}= V_{Cono\,Grande}-V_{Cono\,Pequeño} $$
Espero que os sirva de ayuda. Ante cualquier pregunta o sugerencia podéis dejar un comentario en esta entrada o bien crear un tema en el foro del blog.