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lunes, 6 de abril de 2015

Repaso. Perímetros, áreas y volúmenes de figuras

En esta entrada del blog os dejo un repaso de perímetros, áreas, superficies y volúmenes de figuras.

En este primer enlace os dejo un archivo docx en el que aparecen los perímetros y áreas de las figuras planas más representativas. Es importante que conozcáis el perímetro de la circunferencia y el área del círculo y no equivocarse en esto ya que no podemos hacer el área de una circunferencia porque esta está vacía por dentro.

Figuras geométricas

Como habéis podido comprobar estos son los casos más sencillos y cuyas fórmulas son conocidas, pero ¿Cómo podemos calcular el área de un polígono irregular de un número cualquiera de lados? La respuesta es sencilla, basta dividir este polígono en triángulos y calcular el área de cada uno de estos. El área de este polígono irregular será la suma de todas y cada una de las áreas de los triángulos.


$$A_P=A_{T1}+A_{T2}+A_{T3}+A_{T4}$$
En este segundo enlace que os dejo es otro archivo docx en el que aparecen los volúmenes y superficies de los cuerpos geométricos que más se utilizan. Los más importantes para nosotros serán el cono, la esfera y el cilindro.

Cuerpos geométricos

Como podemos apreciar el cono podemos encontrarlo en los capirotes de semana santa o en los capiruchos de helado. Los cilindros, por su parte, en latas de refresco, en los tubos, etc. Un ortoedro es similar a una caja de zapatos. Las esferas las podemos encontrar en los globos terráqueos, si bien la Tierra está achatada por los polos, en las pelotas de tenis, ...

Un cono truncado o tronco de cono se obtiene mediante el corte de un cono por un plano paralelo a la base, como podemos observar en la imagen de la izquierda. En la imagen de la derecha encontramos una imagen del tronco de cono.



Para calcular su volumen partimos del volumen del cono grande y le restamos el volumen del cono pequeño. $$ V_{Tronco\,de\,Cono}= V_{Cono\,Grande}-V_{Cono\,Pequeño} $$
Espero que os sirva de ayuda. Ante cualquier pregunta o sugerencia podéis dejar un comentario en esta entrada o bien crear un tema en el foro del blog.

sábado, 4 de abril de 2015

Thales, su teorema y su canción

Introducción histórica

El origen de la geometría, como ocurre con otras muchas áreas de las matemáticas es desconocido debido a la ausencia de documentos que lo demuestren.

Existen indicios de que los Babilonios ya manejaban los conceptos de semejanza $(entorno\, a\, 1700\, a.C)$, pues existen tablillas cuneiformes con triángulos rectángulos divididos en otros menos en las que aparecen las medidas de sus lados. Sin embargo, parece lógico pensar que en el Antiguo Egipto, allá por el año $2500\, a.C$ las grandes pirámides se pudieron construir gracias al uso de conceptos como proporcionalidad y semejanza.

Thales de Mileto nació en la ciudad griega de donde proviene su nombre $(Mileto)$, en el año $624\, a.C$ y murió en el año $546\, a.C$.  Fue un filósofo, matemático y astrónomo griego. Era hábil en ingeniería y en geometría. Además se dedicó al comercio y tuvo mucho éxito como hombre de negocios. Lo que conocemos de él es a partir de otros autores, ya que no se conservan escritos suyos. Esto mismo ocurre en el desarrollo inicial de la matemática griega.

De Thales podemos destacar que predijo un eclipse solar que detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares en el año $585\, a.C$. Además fue el fundador de una escuela de matemáticas y filosofía, llamada escuela jónica, en la cual aporta un enfoque diferente: racional y objetivo.

La leyenda atribuye a Thales el uso de sus conocimientos de geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia a la costa de barcos en alta mar.

Cálculo de la altura de un objeto mediante su sombra.

Se cuenta que estando Thales de Mileto en Egipto y conocida su fama de hombre sabio, se le retó a que calculase la altura de una de las pirámides. Para el ser humano siempre ha sido difícil medir y controlar las distancias verticales, ya que ene el momento que esas distancias superaban ligeramente su propia estatura se convertían en inaccesibles. Por este motivo, desde muy antiguo, el ser humano ha buscado e ideado estrategias que le permitieran determinar esas distancias inaccesibles. Según se ha transmitido desde la cultura griega, Thales clavó su bastón en la arena y midió la sombra que proyectaba, estableciendo una proporción entre la longitud del bastón y la sombra de éste con la altura de la pirámide y la sombra que proyectaba en ese momento. Observa la siguiente imagen.


El teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera r y s son cortadas por un haz de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en ellas son proporcionales.

A partir de esto podemos llegar a encontrar que también se cumple que los segmentos que aparecen en r son proporcionales a los segmentos que aparecen en s.

Si aún todavía tienes dudas de lo que quiere decir este teorema te recomiendo que veas el siguiente vídeo en el que podrás escuchar una canción de Les Luthiers que habla sobre el teorema de Thales.


Ahora puedes ver que se cumple el teorema de Thales mediante un pequeño programita en Geogebra, sigue las instrucciones y comprueba que la relación entre los segmentos se mantiene.


  1. Mueve el punto A para ver que los segmentos que aparecen en r y s son proporcionales. Observa que se cumple que $$ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{B'C'}}$$
  2. Mueve ahora también los puntos B y C y observa como además de la proporción anterior se cumple también $$ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OA'}} $$
El recíproco del Teorema de Thales también se cumple:
Si los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ son proporcionales a $\overline{A'B'}$ y $\overline{B'C'}$ y las rectas a y b son paralelas, entonces la recta c es paralela a ambas.


@antonio_arjona7