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martes, 23 de agosto de 2016

Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Antes de nada deberás conocer como resolver ecuaciones de primer grado, conocer las ecuaciones equivalentes, transformar ecuaciones equivalentes en otras y despejar incógnitas. Si ya conoces todo esto puedes adentrarte en el mundo de los sistemas de ecuaciones, en este caso, en el de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas se representa de la siguiente forma:

¡No te asustes si ves demasiadas letras!

http://wwwdontmakemecountto3.blogspot.com.es/2011/08/dont-worry-be-happy.html

Todas las letras en negrita son números, generalmente enteros, fracciones o decimales, es decir, normalmente aparecerán como coeficientes números racionales.

Bueno, ¡pongámonos manos a la obra!

Es frecuente utilizar 4 formas distintas de resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, igualación, reducción y gráfico. En este post os ofrecemos como resolver mecánicamente los sistemas, por este motivo, los métodos que se explicarán serán los 3 primeros.


Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible en caso contrario. Un sistema es compatible determinado si tiene una única solución y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Veamos en primer lugar el caso en que exista una única solución. Vamos a resolver el siguiente sistema por los 3 métodos.


Método de sustitución

Paso 1: Despejamos x en la 1ª ecuación, por ejemplo:



Paso 2: Sustituimos la expresión obtenida en la 2ª ecuación.


Paso3: Resolver la ecuación.


Paso 4: Sustituir el valor de y en el despeje inicial de x.


Paso 5: La solución es única $(x, y) = (-5, 3)$.

PD: No caigas en el error de que hay dos soluciones porque haya dos incógnitas. Esto es completamente falso.

Método de igualación

Paso 1: Despejamos x en las 2 ecuaciones.


Paso 2: Igualar las expresiones obtenidas.


Paso3: Resolver la ecuación.


Los pasos 4 y 5 son idénticos para los 3 métodos.

Método de reducción


Este método consiste en sumar un múltiplo de la primera ecuación con otro múltiplo de la segunda de manera que el resultado de sumar las ecuaciones resultantes elimine una de las dos incógnitas.

Paso 1: Si queremos eliminar la incógnita x tendremos que multiplicar por 2 la primera ecuación y por 1 la segunda, es decir, dejar igual que está.

¡OJO! Multiplicar la ecuación por 2 es multiplicar por 2 a todos y cada uno de los factores del primer y del segundo miembro, siendo el primer miembro lo que se encuentra a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro lo que aparece a la derecha.

Paso 2: Sumar ambas ecuaciones.

Paso 3: Resolver la ecuación.


Los pasos 4 y 5, como ya se ha indicado son los mismo que en el primer método.

Si tu nivel es superior a 2º de ESO y te suena que pueden aparecer otro tipo de soluciones puedes continuar tu aprendizaje con lo siguiente...


UN SISTEMA PUEDE TENER $\infty$ SOLUCIONES.

Si un sistema tiene más de una solución, entonces tendrá infinitas y esto es debido a que las dos ecuaciones son equivalentes, o lo que es lo mismo, proporcionales. Es el caso del siguiente sistema.


Como podemos observar, la segunda ecuación se obtiene multiplicando la primera por -2. De este modo para hallar las soluciones nos sobraría una de las ecuaciones, por ejemplo la segunda, ya que las soluciones obtenidas en cada ecuación son las mismas.

Quedémonos con la primera. $$2x+3y=3$$ Despejemos una de las incógnitas, por ejemplo x. Obtenemos $$ x=\frac{3-3y}{2}$$ Podríamos pensar en que tendríamos una o dos soluciones a lo sumo. Para encontrar una única solución necesitamos otra ecuación de la cual poder despejar y. Como esto no es posible, lo único que podemos hacer es dar valores a la variable y y ver que valores toma x para cada uno de ellos. Hacemos una tabla de valores, ¡como hacemos con las funciones! pero en este caso a quien damos valores es a y.


Como observamos podemos tomar el valor que queramos en y, y a su vez encontramos otro valor de x que está asociado a dicho valor de y. Luego el número de soluciones son tantas como las posibilidades que tenemos de elegir y, ¡que son infinitas!

¿Y si no nos damos cuenta de que las ecuaciones son proporcionales? Si aplicamos el método de reducción obtenemos 0=0 y esto nos indica que las ecuaciones son proporcionales.


UN SISTEMA PUEDE NO TENER SOLUCIÓN.

Los sistemas incompatibles, sin solución, son casos muy específicos y se pueden ver a simple vista. Son aquellos que no cumplen la siguiente proporción. $$ \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$$ Es decir, una de las igualdades anteriores no se cumple como ocurre en los sistemas compatibles. Un ejemplo de ello puede ser el siguiente:


Otra forma de verlo es al aplicar el método de reducción que obtenemos que dos número distintos son iguales, por ejemplo 0=1, lo cual es absurdo.

En este caso si multiplicamos por 2 la primera ecuación $ (4x+6y=6) $ y posteriormente la sumamos con la segunda tenemos: $ (0=-1) $.

Espero que os sirva de ayuda. Si te ayudó danos un Like y Comparte con tus amigos. #LasMatemáticasAlPoder

@antonio_arjona7

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