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martes, 2 de mayo de 2017

Introducción a los poliedros: Prismas y pirámides

Este artículo se debe a una clase que di hace un año en una entrevista para un colegio privado. Me pidieron hablar sobre áreas y volúmenes de cuerpos geométricos... os dejo con esta entrada.


A pesar de que normalmente estamos acostumbrados a introducir las áreas de las figuras planas antes de hablar sobre los cuerpos geométricos, no es la única forma de hacerlo.

En esta entrada, propongo comenzar hablando sobre los cuerpos geométricos, partiendo de los conceptos de poliedro, prisma y pirámide. A continuación, a través de problemas reales sobre áreas y volúmenes, motivar al alumno a cuestionarse las fórmulas que permitan calcularlos.

En primer lugar se empezaría recordando el concepto de poliedro, prisma o pirámide, estableciendo sus elementos más representativos. A saber, caras, aristas, vértices, bases, caras laterales... Además se distinguirían sobre los diferentes tipos de prismas o pirámides.

Hay que tener presente que los ejemplos e imágenes de la realidad siempre son muy buenas para comprender los conceptos y aclarar ideas.

A continuación, dejo una breve presentación sobre cómo haría el comienzo de la misma.



Una vez completada la parte teórica, diapositivas 1-7, se pasaría a la aplicación de un problema real, que sería el siguiente:


El problema de la granja nos indica que nos imaginemos que tenemos una casa de campo como la que aparece en la imagen de la diapositiva 8, sin embargo, en el PDF se incluyen medidas de ancho, largo y altura de la casa y tejado. Es una actividad guiada, en la cual el profesor apenas tiene que explicar los problemas propuestos y el alumno podrá utilizar sus capacidades para aprender de forma autónoma. Le permitirá al alumno plantearse cuestiones relacionadas con el cálculo de volúmenes y sobre todo será una actividad relacionada con la vida real. Además, nuestros alumnos podrán deducir la cantidad de pintura que necesitaremos para pintar la casa, mediante un desarrollo de la figura en Geogebra, para ello bastará con desplazar los deslizadores de izquierda a derecha.



Podrán deducir el volumen de un prisma mediante otra app de Geogebra. Para ello, se plantean preguntan como:
  • ¿Cambiará el volumen del prisma si cambiamos la inclinación al largo? ¿Y al ancho?
  • ¿Qué crees que pasará con el volumen si cambiamos la altura del prisma? ¿Y si cambiamos la figura de la base?
  • ¿De qué crees que dependerá la fórmula del volumen?

Finalmente se haría clic en la Fórmula para que vean realmente que al hacer esas variaciones planteadas la fórmula sólo depende del área de la base y de la altura del objeto.

Por otro lado, para deducir el volumen de una pirámide se puede comprobar llenando de agua, arena o arroz que el volumen de una pirámides es una tercera parte el volumen de un prisma que tiene la misma base y altura.

Como se observa, se han utilizado gran cantidad de imágenes de la vida cotidiana para darle sentido al hecho de que las matemáticas se encuentran en todas partes.

Este tema, que corresponde a niveles de 2º ESO y 3º ESO, se puede ampliar hablando de los poliedros regulares, del cálculo de otros tipos de áreas como la de un círculo o de un polígono regular, para poder hablar de otros tipos de prismas y cuerpos redondos como el cilindro, cono, esfera, etc. Si bien es cierto, que puede ser un poco caótico para nuestros alumnos llevar de la mano el cálculo de áreas y volúmenes a la vez, considero los alumnos están acostumbrados al estudio de muchas fórmulas y hasta que no se ve la aplicación tarda mucho tiempo. De este modo, el problema les aporta una visión global y les relaciona directamente las áreas con los volúmenes, para finalmente el día de mañana, si se les plantea el problema, puedan verlo con más naturalidad. También puede utilizarse a modo de repaso e ir directamente al cálculo de volúmenes en cursos como 3º ESO.

Nuestros alumnos, en innumerables ocasiones, no son capaces de conocer para qué sirven determinados temas de las matemáticas y esto puede ser debido a que no conocen suficientes aplicaciones de las misma a su entorno. Por este motivo, en este problema planteamos pintar la casa y el volumen de aire que puede haber dentro de la casa, como dos ejemplos particulares entre los muchos que podemos encontrar en la realidad.

@antonio_arjona7

martes, 21 de febrero de 2017

Lectura Historia de los números reales

En los albores de la raza humana, las tribus más primitivas dedicaban sus actividades a la caza y a cuidar del rebaño de ganado. Cuando el rebaño es grande es necesario adoptar alguna estrategia para saber si se ha perdido o han robado parte de él. Por este motivo, es indispensable la utilización de un sistema de numeración que indique cuántos animales tenemos de cada tipo.

Muchas civilizaciones, en un principio, solo distinguían entre uno y muchos o entre uno, dos y más de dos. Posteriormente, se utilizó el lenguaje corporal como dedos de una o dos manos, pies, codo… y otros objetos como montones de piedras, muescas en un palo o trozo de hueso para expresar cantidades: un sol, dos corderos, tres caballos… Como podemos observar los números que se utilizan son los llamados números naturales $$\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, … \}$$ Poco a poco fueron apareciendo diferentes sistemas de numeración, los cuales utilizaban diferentes símbolos para representar las mismas cantidades, veamos unos ejemplos:

Muchas tablillas descubiertas, muestran que los babilonios tenían un sistema de numeración posicional en base 60. Este sistema tenía un signo para sortear el inconveniente de las posiciones vacías, lo que inducía en muchas ocasiones al error. Más adelante introdujeron un nuevo símbolo que podemos considerar como cero1. Además, utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60.

                                                                                                             Tablilla Plimpton 322                   
Desde hace unos 5000 años, la gran mayoría de las civilizaciones han utilizado un sistema de numeración decimal. En primer lugar, los egipcios con sus jeroglíficos y con posterioridad los griegos, chinos… Sin embargo, la escritura ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiera el cálculo.

La civilización egipcia (2000 \,a. C.) empezó a usar expresiones que representaban lo que conocemos por números fraccionarios. Estas fracciones tenían como peculiaridad que el numerador siempre era igual a 1. En su escritura, representaban un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, el denominador. La omisión del numerador era debido a que siempre era el mismo.

En el siglo $V$ a. C. los pitagóricos encontraron unos números que llamaron inconmensurables, estos números no eran naturales, ni enteros ni fracciones. Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el siguiente problema:
''Hallar el valor numérico de la diagonal de un cuadrado de lado una unidad.''
Si aplicamos el teorema de Pitágoras tenemos que: $$ d^2 = 1^2 + 1^2 \Rightarrow d^2 = 2$$ Descubrieron así, un número que conocemos como raíz de 2, $\sqrt{2}$. Dicho número no es un número no racional, llamado número irracional, y se caracteriza porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Los chinos, hacia los siglos $II$ y $I\, a. C.$, utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar operaciones, en especial, cálculos comerciales. Estos bastoncillos eran negros y rojos para representar valores positivos y negativos. Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se agrupan formando el grupo de los números enteros $\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, … \} $. El cociente de dos números enteros con denominador no nulo forma el conjunto de los números racionales $$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} : a, b \in Z; b \notin 0\}$$ En torno al año 650 d. C. Brahmagupta enseña en sus escritos a operar con sumas y restas usando bienes, deudas y la nada. Fueron utilizados en siglos posteriores pero no eran aceptados por gran parte de la comunidad matemática.
Los hindúes observaron que el valor posicional del sistema babilónico se podía aplicar al sistema decimal. Sin embargo, hasta el siglo $IX$ no se produjo la aparición del $0$.
El sistema actual fue inventado por los hindúes y transmitido a Europa por los árabes. No se estableció hasta el siglo $XIII$ y de forma lenta. Autores como Leonardo de Pisa "Fibonacci" intentaron popularizar el sistema. Este sistema estaba dotado de una barra horizontal para separar el numerador del denominador en las fracciones.

A principios del siglo $XVII$, los números decimales aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando la parte entera de la parte decimal mediante un punto o una coma. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el año 1972.
Desde los griegos, los matemáticos representaban los números racionales y algunos irracionales en una recta, denominada recta real. Finalmente, se dieron cuenta de que la unión de los dos conjuntos completaba dicha recta y a dicho conjunto se llamó conjunto de los números reales. $$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$$ donde $\mathbb{I}$ es el conjunto de todos los números irracionales.


1.      ¡OJO! “Entre los matemáticos existe una gran controversia sobre si el $0$ debe o no debe ser considerado número natural.”
1.      Realiza un resumen por parejas sobre la lectura, identificando las palabras que vas a añadir a tu diccionario matemático y las que desconoces para posteriormente buscarlas en casa.

2.      Identifica las ventajas e inconvenientes de dos de los siguientes sistemas de numeración y analiza sus principales características: sistema decimal, egipcio, romano, griego, binario, octal, hexadecimal.

3.      ¿Por qué crees que se utiliza el sistema decimal?

4.      ¿Qué significa que un sistema es posicional?

5.      Descompón las siguientes fracciones en suma de fracciones de denominador uno:   3/25,  7/8,  11/15

6.      ¿Por qué los números negativos no eran aceptados?

7.      En la definición de número racional o fracción hemos visto que eliminamos el denominador 0, ¿sabrías explicar por qué?

8.      ¿Qué números irracionales conoces? Cita todos los que conozcas o busca información sobre ellos. Háblanos de la importancia de algunos de ellos y alguna relación con la realidad. Nota: Los más importantes son los que tienen un símbolo asociado.

9.      ¿Cuál es la razón más importante por la que es conocido Fibonacci? Relaciona este concepto con el número áureo o número de oro.

10.   Cuéntanos un chiste matemático en el que se traten de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

@antonio_arjona7