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martes, 23 de agosto de 2016

Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Antes de nada deberás conocer como resolver ecuaciones de primer grado, conocer las ecuaciones equivalentes, transformar ecuaciones equivalentes en otras y despejar incógnitas. Si ya conoces todo esto puedes adentrarte en el mundo de los sistemas de ecuaciones, en este caso, en el de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas se representa de la siguiente forma:

¡No te asustes si ves demasiadas letras!

http://wwwdontmakemecountto3.blogspot.com.es/2011/08/dont-worry-be-happy.html

Todas las letras en negrita son números, generalmente enteros, fracciones o decimales, es decir, normalmente aparecerán como coeficientes números racionales.

Bueno, ¡pongámonos manos a la obra!

Es frecuente utilizar 4 formas distintas de resolver un sistema de ecuaciones. El método de sustitución, igualación, reducción y gráfico. En este post os ofrecemos como resolver mecánicamente los sistemas, por este motivo, los métodos que se explicarán serán los 3 primeros.


Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible en caso contrario. Un sistema es compatible determinado si tiene una única solución y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Veamos en primer lugar el caso en que exista una única solución. Vamos a resolver el siguiente sistema por los 3 métodos.


Método de sustitución

Paso 1: Despejamos x en la 1ª ecuación, por ejemplo:



Paso 2: Sustituimos la expresión obtenida en la 2ª ecuación.


Paso3: Resolver la ecuación.


Paso 4: Sustituir el valor de y en el despeje inicial de x.


Paso 5: La solución es única $(x, y) = (-5, 3)$.

PD: No caigas en el error de que hay dos soluciones porque haya dos incógnitas. Esto es completamente falso.

Método de igualación

Paso 1: Despejamos x en las 2 ecuaciones.


Paso 2: Igualar las expresiones obtenidas.


Paso3: Resolver la ecuación.


Los pasos 4 y 5 son idénticos para los 3 métodos.

Método de reducción


Este método consiste en sumar un múltiplo de la primera ecuación con otro múltiplo de la segunda de manera que el resultado de sumar las ecuaciones resultantes elimine una de las dos incógnitas.

Paso 1: Si queremos eliminar la incógnita x tendremos que multiplicar por 2 la primera ecuación y por 1 la segunda, es decir, dejar igual que está.

¡OJO! Multiplicar la ecuación por 2 es multiplicar por 2 a todos y cada uno de los factores del primer y del segundo miembro, siendo el primer miembro lo que se encuentra a la izquierda de la igualdad y el segundo miembro lo que aparece a la derecha.

Paso 2: Sumar ambas ecuaciones.

Paso 3: Resolver la ecuación.


Los pasos 4 y 5, como ya se ha indicado son los mismo que en el primer método.

Si tu nivel es superior a 2º de ESO y te suena que pueden aparecer otro tipo de soluciones puedes continuar tu aprendizaje con lo siguiente...


UN SISTEMA PUEDE TENER $\infty$ SOLUCIONES.

Si un sistema tiene más de una solución, entonces tendrá infinitas y esto es debido a que las dos ecuaciones son equivalentes, o lo que es lo mismo, proporcionales. Es el caso del siguiente sistema.


Como podemos observar, la segunda ecuación se obtiene multiplicando la primera por -2. De este modo para hallar las soluciones nos sobraría una de las ecuaciones, por ejemplo la segunda, ya que las soluciones obtenidas en cada ecuación son las mismas.

Quedémonos con la primera. $$2x+3y=3$$ Despejemos una de las incógnitas, por ejemplo x. Obtenemos $$ x=\frac{3-3y}{2}$$ Podríamos pensar en que tendríamos una o dos soluciones a lo sumo. Para encontrar una única solución necesitamos otra ecuación de la cual poder despejar y. Como esto no es posible, lo único que podemos hacer es dar valores a la variable y y ver que valores toma x para cada uno de ellos. Hacemos una tabla de valores, ¡como hacemos con las funciones! pero en este caso a quien damos valores es a y.


Como observamos podemos tomar el valor que queramos en y, y a su vez encontramos otro valor de x que está asociado a dicho valor de y. Luego el número de soluciones son tantas como las posibilidades que tenemos de elegir y, ¡que son infinitas!

¿Y si no nos damos cuenta de que las ecuaciones son proporcionales? Si aplicamos el método de reducción obtenemos 0=0 y esto nos indica que las ecuaciones son proporcionales.


UN SISTEMA PUEDE NO TENER SOLUCIÓN.

Los sistemas incompatibles, sin solución, son casos muy específicos y se pueden ver a simple vista. Son aquellos que no cumplen la siguiente proporción. $$ \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$$ Es decir, una de las igualdades anteriores no se cumple como ocurre en los sistemas compatibles. Un ejemplo de ello puede ser el siguiente:


Otra forma de verlo es al aplicar el método de reducción que obtenemos que dos número distintos son iguales, por ejemplo 0=1, lo cual es absurdo.

En este caso si multiplicamos por 2 la primera ecuación $ (4x+6y=6) $ y posteriormente la sumamos con la segunda tenemos: $ (0=-1) $.

Espero que os sirva de ayuda. Si te ayudó danos un Like y Comparte con tus amigos. #LasMatemáticasAlPoder

@antonio_arjona7

martes, 2 de agosto de 2016

Criterios de divisibilidad

¿Cómo sabemos si un número es divisible por otro?

Lo primero que se nos puede ocurrir es hacer la división y ver si el resto es 0. Este método es correcto, pero si tenemos números muy grandes tardaremos mucho más tiempo en hacer la división y como el tiempo es oro, aquí te ofrecemos otras formas de comprobarlo.


Criterio de divisibilidad por 11:

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11. Ej: 121, 1331.

Veamos ahora como aplicar estos criterios en un ejemplo $(1288)$.
  • Es divisible por 2 porque termina en un número par $(8\,es\,par)$.
  • No es divisible por 3 porque la suma de sus cifras $1+2+8+8=19$ no es múltiplo de 3.
  • Es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 88 es un múltiplo de 4 $(88/4=22)$.
  • No es divisible por 5 porque no termina ni en 0 ni en 5.
  • No es divisible por 6 porque aunque es divisible por 2, no es divisible por 3.
  • Es divisible por 7 porque cumple el criterio. Veámoslo:
     En primer lugar, separamos el número en dos parte, dejando la última cifra en la segunda parte. 


     La última cifra la multiplicamos por 2. 


     Posteriormente restamos este número a la primera parte de la separación.

    
     Luego 1288 es divisible por 7 si lo es 112. Como 112 es un número grande y no sabemos
     directamente si es divisible por 7 o no, aplicaremos otra vez este criterio.

En primer lugar separamos la cifra de las unidades $$ 11 | 2 $$ posteriormente, al número sin la cifra de las unidades, le restamos el doble de las unidades. $$ 11-2*2 =11-4=7 $$ Como 7 es divisible por 7, entonces 1288 SI es divisible por 7.
  • Es divisible por 8 porque $(288/8=36)$.
  • No es divisible por 9 porque la suma de sus cifras $1+2+8+8=19$ no es múltiplo de 9. Otra forma de ver que no es divisible por 9 es porque para que lo fuera tendría que ser dos veces divisible por 3, lo cual es no cierto, ya que sabemos que no es divisible por 3.
  • No es divisible por 10 porque no termina en 0.
  • No es divisible por 11 porque la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 1, que no es divisible por 11. 

Para comprobar que has aprendido los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10 entra aquí.
Para comprobarlos todos hazlo en la página de Smartick.

Ejercicio propuesto: Comprueba si son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 los siguientes números: 145, 3467, 12624, 212.

@antonio_arjona7

lunes, 21 de diciembre de 2015

Matemáticas para pasar las navidades


Llegan las navidades y con ellas las vacaciones. Comienza el tiempo libre y para algunos/as el aburrimiento. Es hora de hacer algo diferente en estas navidades y hacer que sean únicas. Para ello os propongo una serie de actividades matemáticas, y con actividades no me refiero a ejercicios, sino a nuevas formas de utilizarlas, aprender y disfrutar de ellas.

Estoy harto de escuchar que las matemáticas están asociadas a aburrimiento, a ejercicios repetitivos y mecánicos y sobre todo a horror y temor de quiénes las utilizan. Estamos a tiempo de cambiar esta percepción de las matemáticas como algo inaccesible y lejos de nuestro alcance. Tenemos que encontrar su utilidad y encontrar la relación que existe con nuestras vidas y con todo lo que nos rodea. ¿Qué sería de nuestras vidas sin números y matemáticas? Efectivamente, un caos. Si no lo crees tienes que ver el siguiente vídeo.


No os entretengo más y comienzo a ofreceros algunas ideas para pasar de manera amena las navidades aprendiendo y utilizando las matemáticas. ¡Llena tu vida de matemáticas!
  • Decorar un árbol de navidad. Puedes dibujar un árbol navideño y decorarlo con fórmulas matemáticas, las que más te gustan, las que te maravillan. También puedes decorar tu árbol de navidad añadiéndole figuras geométricas como un triángulo de Sierpinski en 3D, cubos, octaedros, estrellas pentagonales, omnipoliedros, ...


  • Escribir poemas matemáticos es una manera de relajarte en casa, sacar tu vena amorosa y expresarle tu amor a la persona que quieres. ¡OJO! Utiliza conceptos sencillos e intuitivos para que evitar que se aburra.
Imágenes de Amor en Matemáticas (11)
http://imagenesdeamor.me/2015/06/

  • Disfrutar del cine matemático. En navidades solemos quedar habitualmente con amigos o familiares en casa. En estos momentos decidimos ver alguna película o serie en la televisión y posteriormente comentarla. Internet nos ofrece una amplia variedad de películas y series relacionadas con las matemáticas que nos despertarán un mayor interés por esta bonita disciplina. Aunque estas películas traten contenidos matemáticos, no dejan de ser películas apasionantes, interesantes y muy buenas. Al hablar de algunas de sus escenas y comentar aquellos objetos o curiosidades que aparecen, estarás aumentando tus conocimientos matemáticos e incrementando tu interés y motivación por dicho aprendizaje. También puedes intentar resolver los acertijos que se plantean, por ejemplo, en la película La habitación de Fermat o en Los crímenes de Oxford. Además, existen series intrigantes como Numbers y series graciosas como Los Simpsons con las que pasar un buen rato, echar unas risas y aprender algunos conceptos matemáticos y físicos. A continuación veremos varios ejemplos de este tipo de películas y series:
  1. Los crímenes de Oxford.
  2. La habitación de Fermat.
  3. The emitation game $(descifrando\,enigma)$.
  4. 21 Black Jack.
  5. Moëbius.
  6. El número 23.
  7. Una mente maravillosa.
  8. Pi. Fe en el caos.
  9. El indomable Will Hunting.
  10. Donald en el país de las matemáticas $(para\,niños)$.
  11. Los Simpsons $(serie)$.
  12. Numbers $(serie)$.
  • Bailar. En estas fechas tan especiales aprovechamos parte de nuestro tiempo para mover el esqueleto, pero ¿ qué mejor manera de hacerlo que representando funciones matemáticas ? ¿Cuál es el movimiento con el que más te identificas? Esta es una buena forma de aprender o recordar las funciones de manera divertida.

  • Cantar canciones o ver vídeos musicales de matemáticas. Existe una relación fuerte entre la música y las matemáticas, parte de esto puede verse en la película Donald y las matemáticas. En primer lugar, la escala musical está basada en las fracciones.  Muchas composiciones musicales están basadas en la simetría. Otro ejemplo de esta relación lo dio Mozart, el cuál describió un juego de dados que consiste en la composición de una pequeña obra musical. Además, podemos encontrar varios ejemplos más como éste, composiciones basadas en distribuciones aleatorias. Os dejo una tesis de música y matemáticas. Por otro lado, existen muchas canciones relacionadas con temas matemáticos y podemos proponer actividades como cantar dichas canciones o crear poemas y composiciones nuevas. En el siguiente enlace os ofrezco una recopilación de canciones matemáticas que realicé hace tiempo y que os recomiendo que veáis, además, en dicho artículo, propongo una serie de actividades para su utilización en una clase de matemáticas de secundaria.

Canon del cangrejo de Bach. Música, banda de Moëbius y simetría.


  • Realizar un dibujo para expresar tu amor hacia tu pareja o la persona de la que estás enamorada. Puedes mandarle un corazón matemático, la representación gráfica de tu amor, ...
Imágenes de Amor en Matemáticas (2)
Fuente:   http://imagenesdeamor.me/2015/06/
  • Tatuarte un símbolo, fórmula, concepto, figura geométrica, etc. Existen muchas expresiones y figuras matemáticas caracterizadas por su belleza y su carácter impactante para nuestros ojos. Si quieres tatuarte el cuerpo y todavía no sabes el qué, te ofrecemos algunas ideas:

Fuentes: 1)  www.lapatilla.com/site/2011/02/22/el-tatuaje-mas-bello-del-mundo
2) weheartit.com                                                                       
3) http://blogtatuajes.com/tatuajes-de-signos-matematicos
  • Confeccionar una camiseta, unas zapatillas o bolso matemático. En él puedes incluir fórmulas como el binomio de Newton, el teorema de Pitágoras, el último teorema de Fermat, el cuadrado mágico de Durero, un diagrama de Venn, una gráfica, o cualquier concepto o fórmula matemática que se te ocurra, por ejemplo: $$ e^{\pi \, i}+1=0$$
Zapatillas matemáticas. ¡Ojo! Hay un error. / Bolso matemático 
Fuente:   Bolsa de tela decorada

Puedes encontrar varias camisetas matemáticas aquí.

  • Resolver acertijos matemáticos es una manera magnífica para entretenerte en esos días de frío sentados en la candelita y mejorar tus capacidades para resolver problemas numéricos y de la vida cotidiana. Además, se puede utilizar como elemento motivador que los acertijos estén relacionados con temas navideños. Muchas disciplinas como la economía, biología, química, física, ingenierías, ... necesitan personas capaces de resolver problemas puntuales mediante el uso de conceptos matemáticos. Además, gran parte de las situaciones de la vida pueden modelizarse mediante patrones o modelos matemáticos, como las poblaciones de cualquier tipo de animal o planta, los icebergs, las enfermedades, etc. Por este motivo, es fundamental que todos los individuos sean competentes matemáticamente hablando. Para facilitar este proceso os proponemos algunas páginas para resolver acertijos.

  1. Matemáticas recreativas y educativas.
  2. Matemáticas cercanas.
  3. Acertijos matemáticos.
  4. Juegos de lógica.
  5. Desafíos matemáticos del periódico El País. Varios de estos acertijos están íntimamente relacionados con la navidad, pues tratan sobre la lotería y la probabilidad de ganar algún premio, en particular, el más preciado, el premio gordo. A propósito del premio gordo os dejo el siguiente vídeo.






Os propongo en especial un reto matemático. Desafío extraordinario de navidad de El País. Por Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid.








  • Decorar tus uñas. Si eres presumida y quieres demostrar que lo tuyo son las matemáticas, qué mejor manera que hacerlo que pintándote el número $\pi$ en ellas. También puedes elegir el número e o $\phi$.


Fuente: decoraciondeunas.info

  • Cocinar. Para ejecutar cualquier receta es imprescindible manejar las proporciones, ya que si la receta que manejamos es para 2 personas y nosotros queremos hacerla para otro número cualquiera de personas es necesario que la comida aumente o disminuya en proporción a ese número de personas. La actividad culinaria que propongo realizar en navidades es la decoración de un pastel o tarta con conceptos matemáticos, ideal si se la quieres regalar a alguien que les gusten las matemáticas. Puedes ver algunos ejemplos muy dulces a continuación.

          

Fuente:   www.abadiadigital.com/tarta-de-cumpleanos-para-matematicos



Fuente:   iesrioaguas.wordpress.com



¡Qué buena pinta tienen estas tortitas! Mmmmmm.


  • Reconocer las matemáticas que nos rodean. Continuamente, en navidades, salimos a ver los adornos navideños que se encuentran en las calles y no prestamos mucha atención a las belleza geométrica que se muestra ante nuestros ojos. Sería interesante fotografiar aquellas imágenes de la naturaleza y de la vida cotidiana que estén relacionadas con las matemáticas e identificar en ellas las formas geométricas y los conceptos más representativos. Ejemplo de ello son los siguientes:
Igualdades matemáticas con ventanas.

Árbol de navidad, pirámide cuadrangular con forma de Pacman.

Árbol de navidad, con forma de cono.
Fuente:   Evamate

En una clase de secundaria se podría plantear mediante un concurso fotográfico para dos distintos niveles, secundaria y bachillerato. Los temas a tratar pueden ser: matemáticas en el zoo, matemáticas en las redes sociales, arquitectura y matemáticas, etc. Las tres fotografías más innovadoras serán premiadas con un libro de matemáticas del nivel en que se encuentre dicho alumno.
  • Investigar curiosidades matemáticas. Las siguientes curiosidades numéricas, como podemos observar, se pueden expresar en forma de árbol de navidad. Así, podemos tomar como escusa la navidad para hacer hincapié en la curiosidad matemática que cada uno llevamos dentro. Para ello podemos comenzar con resultados sorprendentes y de manera progresiva aumentar la formalidad de los resultados, hasta llegar a una demostración rigurosa de la misma.

  • Aplicar la papiroflexia para representar figuras geométricas, y posteriormente colgarlas en un árbol de navidad, por ejemplo, podemos crear dodecaedros, icosaedros, cubos, ... Véase la figura superior.
  • Leer libros de matemáticas. Os dejo una colección de libros matemáticos que considero interesantes:
  1. Malditas matemáticas.
  2. El diablo de los números.
  3. Fermat. El mago de los números.
  4. Los crímenes de Oxford.
Éstos y otros libros los puedes encontrar en Matemáticas: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ... En esta página además puedes obtenerlos en PDF.

  • Curiosidades.

Ecuación navideña. "Merry Christmas"


Fuente: memespp.com/merry-christmas-9gag


Finalmente nuestros mejores deseos para vosotros, los lectores de este blog.



PD: 1)  Si alguno de vosotros conocéis algún instituto privado o concertado en España, aunque mejor si está cerca de Sevilla $(no\, bilingüe)$, por favor, comentármelo. El mejor regalo que podría recibir por reyes es poder empezar a trabajar como profesor de matemáticas, y porqué no, aplicar algunas de estas ideas en clase.
2) Sé que este artículo es muy friki.
3) Si conocéis alguna otra forma de disfrutar de las matemáticas en navidades, dejad un comentario.

Esta entrada participa en la Edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Ztfnews.

@antonio_arjona7