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martes, 15 de julio de 2014

La sucesión de Fibonacci y la naturaleza.

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci $(1170-1250)$ fue un matemático italiano del siglo XIII. Es famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo, es decir, un sistema de numeración en el que cada dígito $(0-9)$ posee un valor dependiendo de la posición en la que se encuentre y por introducir una sucesión muy interesante que se llama <<sucesión de Fibonacci>>. Podemos destacar también que es autor del libro Liber Abaci (1202).
La sucesión de Fibonacci proporciona solución a un problema de cría de conejos.

Tenemos una pareja de conejos en un lugar cerrado $(sin \,que \,entren \,otros\, conejos\, del \,exterior)$. Supondremos que tanto la pareja de conejos como sus crías no se mueren y queremos hallar el número de conejos que tendremos al final del año a partir de esa pareja de conejos. Además, debemos de saber que una pareja de conejos no puede cruzarse $(aparearse)$ hasta alcanzar su primer mes de vida, ya que es cuando llega a ser adulta. Por último, debemos saber que una pareja adulta al mes siguiente crea una nueva pareja de conejos bebes $(conejo\, y \,coneja)$.

Nota: Los conejos no se mueren.

Para ver mejor este hecho, daremos la siguiente tabla.


Como se observa en la tabla, partimos de una pareja de conejos bebes. En el primer mes se cruzan y por tanto sólo tenemos una pareja, en el siguiente mes obtenemos 2 parejas ya que la pareja adulta ha creado una nueva pareja de conejos bebes. En el tercer mes la pareja adulta crea otra nueva pareja de conejos bebes y así obtenemos 2 parejas de conejos adultos y una de bebes. Siguiendo este razonamiento se obtienen los números que aparecen en la tabla.
Así, obtenemos que la sucesión que determina el número de parejas de conejos es la llamada sucesión de Fibonacci

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,  \dots$

determina la cantidad de parejas de conejos que obtenemos en cada mes $(partiendo\, del \,mes \,0)$. Se puede ver que el número de parejas de conejos adultos en un mes cualquiera coincide con el número de parejas de conejos en el mes anterior y que el número de conejos bebes coincide con el número de parejas de conejos 2 meses antes. Sin embargo, la observación más importante es que el número de parejas de conejos en un mes cualquiera es igual a la suma de las parejas de conejos de los 2 meses anteriores.

Así, considerando $a_{n}$ el número de parejas de conejos en el mes número $n+1$ llegamos a que los términos de la sucesión de Fibonacci vienen determinados por la siguiente fórmula:
$$a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}\quad \forall n\in\mathbb{N}$$
donde $a_1=1$ y $a_2=1$, es decir, un término se genera con la suma de los 2 anteriores. Veamos algunos ejemplos:



La sucesión de Fibonacci es uno de los temas más sorprendentes de las matemáticas ya que aporta una multitud de propiedades curiosas. Algunas de dichas propiedades aparecen en la naturaleza como por ejemplo:
  1. El número de los pétalos de las flores: 3 como los lirios, 5 como las rosas silvestres, 8 como las peonias, 13 como las caléndulas, 21 como la flor de la achicoria, 34 como muchas margaritas, $\dots$). Hay algunas excepciones que tienen 4, 11, 29, las cuales siguen otra sucesión que se obtiene de forma semejante a la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se llama sucesión de Lucas $$ 1,\,3,\,4,\,7,\,11,\,18,\,29,\,\dots  $$ que cumple la misma fórmula que la sucesión de Fibonacci, la única diferencia es que toma como $a_2=3$.                                                                                                                                                                                                                       www.educa2.madrid.org
  2. La distribución de las semillas del girasol.
  3. Brazos en espiral de las galaxias y los huracanes.
  4. Las ramas de los árboles y las hojas de las plantas que se distribuyen buscando la máxima luz para cada una de ellas. Por ello nacen alrededor del tallo pero ninguna lo hace encima de la otra.
Otros ejemplos están basados en el número áureo $\varphi$ que aparecen en esculturas como el David de Miguel Ángel, construcciones como el Partenón y pinturas como Las Meninas de Velázquez, la Gioconda o el hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, ya que este número está asociado a la belleza. Además aparecen en el ser humano y en los animales:

         
    darioesdessagunto.blogspot.com                             www.esferatic.com
  • Relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
  • Relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
  • Relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
  • Relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
  • Relación entre las divisiones vertebrales.
Ahora veremos cuanto vale el número de oro o número áureo

2 números están en proporción áurea si se cumple que $$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$ Tomando $\varphi=\frac{a}{b}$ tenemos la ecuación $$ 1+ \frac{1}{\varphi}=\varphi  $$ Al multiplicar por $\varphi$ y pasando los términos a un lado obtenemos que $$ \varphi^2 - \varphi -1 =0 $$
Así, la solución positiva de la ecuación $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se le llama número áureo y es equivalente a la relación $\frac{a}{b}$.


Cuando dividimos un término de la sucesión de Fibonacci por el anterior y seguimos haciendo esto con términos cada vez más grandes podemos ver como nos aproximamos a dicho número áureo.


Así $$\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\varphi=1.6180339887\dots$$

Otras fórmulas interesantes son:

  • Los términos impares de la sucesión están determinados por la suma de los cuadrados de 2 términos consecutivos. 
                                                     
         Por ejemplo:
         
  • Los términos pares de la sucesión están determinados por la resta de los cuadrados de 2 términos. 

          para todo $n\geq 2$.
         
          Por ejemplo:


  • Al sumar las áreas de los rectángulos cuyos lados son 2 términos consecutivos de la sucesión obtenemos 2 casos:
  1. Si el número de rectángulos es impar, la suma de las áreas es igual a la del cuadrado cuyo lado es el siguiente término, es decir:
 $$\sum_{i=1}^{2n-1} a_i \cdot a_{i+1} = a_{2n}^2 \quad \forall \,n\in \mathbb{N}$$
    Por ejemplo: $$1\cdot 1 + 1\cdot 2 +2\cdot 3 +3\cdot 5 +5\cdot 8 +8\cdot 13 + 13 \cdot 21= 441 = 21^2$$
    2. Si el número de rectángulos es par, la suma de las áreas es igual a 1 más el área del cuadrado cuyo lado es el siguiente término, es decir:

$$1 + \sum_{i=1}^{2n} a_i \cdot a_{i+1} = a_{2n+1}^2 \quad \forall \,n\in \mathbb{N}$$
Por ejemplo: $$1+ 1\cdot 1 + 1\cdot 2 +2\cdot 3 +3\cdot 5 +5\cdot 8 +8\cdot 13 = 169 = 13^2 $$

  • Al unir rectángulos cuyos lados son términos correlativos de la sucesión de Fibonacci $a_n$ y $a_{n+1}$, obtenemos la llamada espiral de Fibonacci. Además, el área de cada rectángulo de lados $a_n$ y $a_{n+1}$ es suma de las áreas de los cuadrados de lados $a_i$ con $1\leq i \leq n$, es decir:  $$ \sum_{i=1}^{n} a_i^2  = a_{n-1} \cdot a_n$$


  •  $ a_{n-1} \cdot a_{n+1} = a_n^2 \pm 1$
           El valor positivo lo tomará cuando $n$ es par y el valor negativo cuando $n$ es impar.
  • La suma de 10 términos consecutivos de la sucesión es igual a 7 veces el undécimo término.
  • $a_{n+2}^4 - a_{n+1}^4 = a_n \cdot a_{n+3} \cdot a_{2n-3} \quad \forall\,n\geq 2$
  • Los términos de la sucesión de Fibonacci aparecen también al sumar los términos de las diagonales secundarias del triángulo de Tartaglia o Pascal, tal y como se observa en la siguiente figura.
Este tema es demasiado extenso, así que animo al lector a que busque más curiosidades que le puedan llegar a asombrar, así como espero que éstas también lo hayan hecho. Por otro lado, os propongo un tema relacionado, que no puede ser otro que El número áureo y la proporción áurea. Este tema posee también muchas curiosidades, ya que aparece en muchos ámbitos como pueden ser: arquitectura, pintura, escultura, música, en el ser humano, etcétera.

En los siguientes vídeos podemos ver las relaciones de dicha sucesión con la naturaleza.
https://www.youtube.com/watch?v=6vT1YMd9gLw
https://www.youtube.com/watch?v=6vT1YMd9gLw

                                                   @antonio_arjona7

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