Descubriendo a los farsantes. Falacias matemáticas 2

En esta entrada hablaremos sobre $3$ falacias matemáticas. Una falacia es un argumento que aparentemente es cierto pero que en realidad es falso. 

                                    $2>3$

Partimos de que $4<8$, al invertir estos números cambia el sentido de la desigualdad y queda $ \frac{1}{4}>\frac{1}{8} $. Después se descomponen ambos números como potencias de base $\frac{1}{2}$. Posteriormente aplicamos la función logaritmo y como esta función es creciente en su dominio ((0,+\infty)) entonces no cambia el sentido de la desigualdad y por tanto queda $ \log{(\frac{1}{2})^2} > \log{(\frac{1}{2})^3}$. Aplicamos una de las propiedades de los logaritmos y llegamos a $2\cdot \log{\frac{1}{2}}>3\cdot \log{\frac{1}{2}}$. Para finalizar se cancela de ambos lados $\log{\frac{1}{2}}$ pero aquí es donde está el error. Al dividir por $\log{\frac{1}{2}}$ se tiene que cambiar el sentido de la desigualdad porque el logaritmo de un número $a$ con $0<a<1$ es negativo, es decir, $$ \log{a}<0 \qquad \forall \,a\in (0,1)$$ Así que al cambiar el sentido de la desigualdad llegaríamos a que $2<3$ lo cual sabemos que es cierto.

$1=-1$

¿No os parece curioso esto? Si nuestros ministros conocieran este hecho ¡¡la crisis desaparecería de un plumazo!! Nuestra deuda financiera pasaría a ser el dinero que tendría, es decir, si España debe $100$ millones entonces pasaría a tener un saldo positivo de $100$ millones. Entonces tenemos que ir inmediatamente a los bancos a pedir préstamos, cuanto más dinero nos den mejor, ya que deber es lo mismo que tener. Pero si esto fuera así, o las personas no conocen la existencia de esto o los bancos estarían arruinados todos. Vamos ahora a ver como no es oro todo lo que reluce, o sea no es cierto todo lo que lo parezca. 

El error se encuentra en la segunda fila ya que la raíz cuadrada está definida en los números reales y en $\mathbb{R}$ la raíz de un número negativo no existe. 

                                    $5=4$

Luego si esto fuera cierto tendríamos que $2+2=5$.

Partimos del hecho de que $-20=-20$ y lo expresamos como $25-45=16-36$, posteriormente se suma $\frac{81}{4}$ a ambos términos de la igualdad. Después se expresa cada término como producto de $4$, $5$ y/o $\frac{9}{2}$. En el siguiente paso hacemos el cambio $$ a^2 -2\cdot a \cdot b + b^2 = (a-b)^2 $$
En este caso el error se realiza al hacer la raíz cuadrada, es decir, en el siguiente paso. Cuando hacemos una raíz cuadrada obtenemos 2 valores posibles uno positivo y otro negativo. Así que para que la igualdad se cumpla $5-\frac{9}{2}= 4-\frac{9}{2}$ ó $5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})$. Como vemos en el ejemplo el valor positivo no lo cumple. Veamos que sí lo hace el negativo. $$ \frac{1}{2}=5-\frac{9}{2}=-(4-\frac{9}{2})=-4+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$$

Para finalizar nos quedamos con una anécdota.

Bertrand Russell afirmó que de un enunciado falso se podía deducir cualquier cosa y uno de los que le escuchaba le preguntó:

"¿Quiere usted decir que si $2+2=5$ entonces usted es el Papa?"

Russell sin esperar ni un momento empezó con la demostración. 

"Si suponemos que $2+2=5$, entonces si restamos $3$ obtenemos que $1=2$, lo cual es equivalente a decir que $2=1$. Como el Papa y yo somos dos personas y $2=1$ entonces el Papa y yo somos uno, luego yo soy el Papa".

Conclusión: Nos damos cuenta que si nos detenemos un poco en la supuesta demostración que realizan podemos ver como hay algún momento en la que meten algún "gambazo", es decir, un error matemático grave que hace que la maravillosa demostración no sea más que una mentira enmascarada.

Si te interesa el tema en el siguiente enlace puedes ver otras 2 falacias matemáticas.

@antonio_arjona7